ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ УРОВНИ И ПЛОТНОСТЬ СОСТОЯНИЙ В ОДНОМЕРНОМ СЛУЧАЕ

Металлическое состояние вещества занимает особое положение в физике твердого тела, обнаруживая ряд свойств, отсутствующих у других состояний твердых тел. Необходимость объяснения подобных свойств стимулировала создание современной теории твердого тела. Кроме того, для объяснения свойств неметаллов необходимо понять свойства металлов: лишь объяснив, почему медь является таким хорошим проводником, мы узнаем, почему им не является обычная соль.

Простейшей моделью металла стала модель свободных электронов (Друде, 1900). Предполагалось, что все валентные электроны в ней являются свободными, поэтому в модели пренебрегли и взаимодействием электронов с атомами решетки, и их взаимодействием друг с другом. В такой модели кристалл рассматривался как совокупность точечных периодически расположенных ионов, плавающих в однородном (отрицательно заряженном) газе. Однако положения теории относительно температурной зависимости электропроводности и вклада электронов проводимости в теплоемкость металла противоречили опытным данным. Лишь с открытием законов квантовой статистики (1927) электронная теория металлов получила дальнейшее развитие. Согласно законам квантовой механики для совокупности электронов должен выполняться принцип Паули, в соответствии с которым в каждом энергетическом состоянии не может находиться более двух электронов (с противоположными спинами). Газ свободных электронов, подчиняющийся принципу Паули, часто называют свободным электронным газом Ферми (СЭГФ).

Рассмотрим квантовую теорию свободной частицы в одномерном пространстве. Пусть электрон массы т движется по отрезку длины 1,. Физически это эквивалентно случаю, когда на концах этого отрезка находятся бесконечно высокие потенциальные барьеры. Пусть состояние электрона на прямой описывается волновой функцией |/(х). Эта функция может быть найдена решением уравнения Шредингера, имеющим для одномерного случая вид

где гамильтониан Н — оператор кинетической энергии электрона, ; р — импульс электрона, оператор которого имеет вид ; Е — энергия электрона.

С учетом вида оператора Гамильтона уравнение Шре- дингера примет вид

Для решения этого, как и любого дифференциального уравнения, необходимо ввести граничные условия. Они могут быть введены различными способами, приводящими, в конечном счете, к сходному виду волновых функций.

Один из способов опирается на указанное выше условие, что на концах отрезка находятся бесконечно высокие барьеры.

Поскольку волновая функция 1(х) описывает плотность вероятности нахождения электрона в окрестности *, а электрон в точках с бесконечными потенциалами находиться не может, то

Уравнению Шредингера (3.15) с граничными условиями (3.16) отвечает набор функций типа стоячих волн:

I

где кп — длина волны такова, что на отрезке 1, укладывается целое число п полуволн. Иными словами,

Тогда

Подставим (3.19) в уравнение Шредингера:

Отсюда следует

Энергия является квадратичной функцией квантового числа п, т. е. имеет не произвольные, а строго определенные квантованные значения, называемые собственными значениями энергии. Итак, уравнению Шредингера(3.15) и граничным условиям (3.16) отвечает набор волновых функций типа (3.17) или (3.19), причем каждому из них соответствует свое значение энергии (3.21). По этой причине уравнение Шредингера удобнее записывать в виде

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >