Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Физика arrow Физика твердого тела

3. ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛАХ

Теория энергетических зон электронов позволяет научно объяснить электрические свойства твердых тел и классифицировать твердые тела на основе этих свойств. Согласно классификации твердые тела делятся на металлы (хорошие проводники электричества), полупроводники и изоляторы (плохие проводники электричества). Объяснение природы резкого различия между металлами и неметаллами явилось одним из первых успехов в применении квантовой механики к проблеме твердого тела.

3.1. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ СВОБОДНЫХ ЭЛЕКТРОНОВ В МЕТАЛЛАХ

ОПИСАНИЕ КВАНТОВЫХ СИСТЕМ

Дальнейшее изложение возможно только с помощью квантовой механики, поэтому приведем самые необходимые сведения из квантовой теории. Состояние системы в квантовой механике описывается волновой функцией >(х, у, 2, ?) (пси-функцией). По интерпретации М. Борна (1926) квадрат модуля пси-функции определяет вероятность с1? нахождения частицы в данный момент времени в объеме ёУ0 вблизи точки с координатами (х, у, г):

где у и у* — комплексно-сопряженные функции.

Согласно этому представлению квадрат модуля волновой функции является плотностью вероятности ? нахождения частицы-волны в данной области пространства в некоторый момент времени.

Каждой физической величине А сопоставляется свой оператор А. Оператором называют символическое обозначение математической операции, которую необходимо совершить с интересующей нас функцией. Так, оператор координаты х показывает, что волновую функцию нужно просто умножить на координату:

Оператор проекции импульса показывает,

что волновую функцию / необходимо продифференцировать по х:

Операторы координаты X и проекции импульса Рх являются основными в квантовой теории. Оператор кинетической энергии показывает, что от волновой функции нужно взять сумму вторых производных:

где оператор V2 — это лапласиан, т. е. выражение в круглых скобках.

Наибольшую роль в квантовой механике играет оператор полной энергии — гамильтониан (его обозначают Н):

Здесь и(х) — потенциальная энергия системы.

Волновая функция щ, описывающая состояние системы, обычно находится из операторного уравнения:

Функции, являющиеся решением уравнения (3.5) и удовлетворяющие естественным условиям, называют собственными функциями оператора Ь. Те значения а, при которых такие решения существуют, называют собственными значениями физической величины Ь. Таким образом, если оператор, действуя на некоторую функцию, дает ту же функцию, то последняя является собственной функцией данного оператора. Например, возьмем две функции: х3 и ехр(5зг). И пусть дан оператор дифференцирования

А=-^~. Имеем ах

Видно, что в первом примере в результате действия оператора получилась новая функция, так что х3 не является собственной функцией рассматриваемого оператора дифференцирования. А вот функция ехр(5лг) является его собственной функцией. После дифференцирования получается та же функция, умноженная на число (в данном примере 5), которое является собственным значением оператора.

Набор собственных значений физической величины Ь иногда оказывается непрерывным, а иногда дискретным. Опыт показывает, что в последнем случае измеренные значения Ь действительно оказываются дискретными и совпадают с собственными значениями Ь. Примером дискретности в микромире являются оптические спектры атомов, которые состоят из ряда отдельных тонких линий.

Для описания состояния или поведения физической системы вместо уравнений классической механики в квантовой механике исходным является уравнение Шредингера:

Подставим (3.5) (оператор Н) в (3.7):

В частном случае одномерного движения только вдоль оси хполучим

При условии стационарности поля внешних сил (U(t) = = const) волновую функцию в уравнении (3.9) можно представить в виде )(х, t) = |/(х)ф(?), что дает возможность получить два уравнения для временной и координатной частей волновой функции:

где Е — полная энергия системы.

Решение уравнения (3.10) с точностью до множителя С будет иметь следующий вид:

Уравнение (3.11) представляет обобщение уравнения Шредингера на случай частицы, движущейся в произвольном потенциальном поле, не зависящем от времени. При этом (3.11) определяет зависимость волновой функции только от координат.

Уравнение (3.11) называется уравнением Шредингера для стационарных состояний: плотность вероятности измерения координат частицы, находящейся в состоянии

, от времени не зависит

Вероятности обнаружения других физических величин в состоянии v|i(x, t) также не зависят от времени.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >
 

Популярные страницы