ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ИЗОЛЯТОРОВ

В заключение рассмотрим, как описывается перенос тепла, или теплопроводность, в изоляторах. Формулу для теплопроводности можно вывести, предположив, что в изоляторах переносчиками тепла являются фононы и что фононы испытывают кратковременные столкновения друг с другом. Такие столкновения могут происходить только при наличии ангармонических членов в выражении для полной энергии фононного газа. При полуколичественных оценках для фононной (решеточной) теплопроводности можно применять обычную формулу для теплопроводности газов

где 0 — теплопроводность; с — теплоемкость, отнесенная к единице объема газа; в — скорость фононов; X — средняя длина их свободного пробега.

Рис. 2.12

Схема рассеяния фононов на дефектах решетки

При низких температурах, когда тепловые колебания не велики и ангармоничность сил, связывающих атомы в решетке, еще можно не принимать во внимание, длина свободного пробега X очень велика. При низких температурах ее величину ограничивают примеси, дефекты кристалла и размеры самих кристаллов.

Длина свободного пробега фононов X может достигать при этом нескольких миллиметров. Рассеяние фононов на дефектах кристалла схематически показано на рис. 2.12.

При рассеянии фонон меняет направление движения, не изменяя своей энергии.

При повышении температуры на распространение звуковых волн начинает все больше сказываться ангармоничность колебаний. Соответствующие процессы изображены на рис. 2.13.

При разделении, слиянии и столкновении фононов выполняется закон сохранения энергии, а закон сохранения импульса верен с точностью до . При температурах, близких к абсолютному нулю, теплопроводность

Рис. 2.13

Ангармоничность колебаний при повышении температуры:

а — разделение одного фонона на два; б — слияние двух фононов; в — столкновение фононов.

кристаллов возрастает с температурой вместе с его теплоемкостью, а затем быстро падает из-за уменьшения длины свободного пробега фононов. Рассмотрим подробнее, как процессы взаимодействия фононов влияют на теплопроводность твердых тел.

В идеальном гармоническом кристалле фононные состояния будут стационарными: если установилось некоторое распределение фононов с направленными в одну сторону групповыми скоростями, то оно не меняется с течением времени и поток тепла не затухает. Таким образом, идеальный гармонический кристалл имел бы бесконечную теплопроводность. В реальных кристаллах теплопроводность ограничена двумя факторами: 1) рассеивание фононов на несовершенствах решетки; 2) взаимодействие фононов, появляющееся из-за энгармонизма колебаний решетки.

Физика взаимодействия двух фононов объясняется следующим образом. Распространяющийся через кристалл фонон деформирует кристаллическую решетку с периодом, равным длине его волны. В результате в кристалле появится модуляция упругих постоянных решетки с таким же периодом модуляции, т. е. своеобразная дифракционная решетка. Второй фонон, распространяясь через такую «дифракционную решетку», будет дифрагировать на ней и в результате изменит направление своего движения. В процессах рассеяния выполняются законы сохранения энергии и квазиимпульса к>! + со2 = со3 и + кг =3 + С, где б — произвольный вектор обратной решетки.

Процессы с в = 0 происходят без участия решетки и называются нормальными или Л^-процессами (рис. 2.14). Если б * 0, то рассеяние называется итк1арр-процессом, или процессом переброса Пайерлса. В А^-процессе суммарный импульс после рассеяния не изменяется, и соответственно тепловая энергия направлена на групповую скорость исходных фононов. То есть ААпроцессы сами по себе не приводят к восстановлению равновесного распределения фононов — перенос энергии может сохраняться и при отсутствии градиента температуры, что означает бесконечную теплопроводность.

Рис. 2.14

Процессы рассеяния фононовнормальный (слева ) и с перебросом (справа )

В итк1арр-процессе направление энергии не совпадает с направлением групповых скоростей в исходных модах и кг. В таких процессах участвует решетка, и они приводят к установлению равновесного распределения фононов и к конечному значению теплопроводности. При таких столкновениях суммарный импульс фононов оказывается за границей первой зоны Бриллюэна, и к нему добавляется импульс С, полученный от кристаллической решетки. В результате вектор родившегося фонона имеет направленность, сильно отличающуюся от суммарного импульса фононов. Из рисунка видно, что для появления процесса переброса значения импульсов исходных фононов должны

быть достаточно большими , чтобы их сумма вышла за пределы зоны Бриллюэна. Такие процессы происходят при сравнительно высоких температурах, когда велика вероятность встретить фонон с большими значениями волнового вектора и энергии.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >