ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ФОНОНОВ И ТЕПЛОВОЕ РАСШИРЕНИЕ

Введенные ранее монохроматические фононы различной частоты не взаимодействуют друг с другом и представляют собой идеальный газ квазичастиц. Такое представление справедливо только для гармонических колебаний атомов в решетке. В действительности атомы не являются гармоническими осцилляторами. Степень отклонения от гармоничности (энгармонизм) определяет эффективность взаимодействия фононов.

С энгармонизмом колебаний атомов связано также расширение тел при нагревании. Коэффициент линейного расширения может служить мерой энгармонизма колебаний. Рассмотрим это явление более подробно.

Потенциальная энергия и гармонического осциллятора представляет собой параболическую функцию смещения х атома из положения равновесия при г= г0(х = г - г0):

где зе — коэффициент квази- упругой возвращающей силы. Эта зависимость (2.59) является симметричной функцией х (штриховая линия на рис. 2.10).

Рис. 2.10

Зависимость потенциальной энергии и(г)

При Т = О К осциллятор занимает наинизший энергетический уровень в параболической потенциальной яме, соответствующий энергии нулевых колебаний. С повышением температуры осциллятор переходит на все более высокие уровни энергии. На каждом уровне расстояние между ветвями параболы определяет удвоенную амплитуду колебаний (на рис. 2.10 через обозначена полная энергия осциллятора при температуре Т). Совершенно очевидно, что в случае симметричной параболы амплитуды колебаний, т. е. смещения вправо и влево от положения равновесия, по абсолютной величине будут одинаковыми — это и есть гармонические колебания.

Однако увеличение амплитуды колебания не приводит к смещению положения равновесия атома г = г0 (которое определяет среднее по времени положение атома) и к изменению средних расстояний г0 между атомами. Это означает, что в гармоническом приближении тепловое расширение тел отсутствует.

Реальная кривая потенциальной энергии асимметрична (рис. 2.10). Она может быть аппроксимирована параболой только вблизи дна потенциальной ямы. При увеличении расстояния между атомами энергия взаимодействия меняется медленнее, чем по параболическому закону. Характер отклонений потенциальной энергии от параболической зависимости описывается поправкой, пропорциональной х3:

Величина коэффициента р характеризует степень ангармоничности колебаний атомов. Видно, что теперь при повышении температуры не только увеличивается амплитуда колебаний, но также увеличивается значение г0. Это приводит к тепловому расширению тела.

Вероятность отклонения атома от положения равновесия на величину х, по Больцману равна

Постоянную нормировки А находим из условия:

I

интеграл от второго члена равен нулю, поскольку эта часть подынтегральной функции нечетна. С учетом этого:

Тогда среднее отклонение атомов от положения равновесия будет равно:

Первый из этих интегралов обращается в нуль, а второй равен

отсюда

Итак, среднее смещение атомов при нагреве пропорционально температуре, коэффициенту ангармоничности и обратно пропорционально квадрату квазиупругой силы.

Коэффициент теплового расширения — период решетки)

Таким образом, коэффициент теплового расширения прямо пропорционален константе ангармонизма.

Рис. 2.11

Частотный спектр фононов

Теперь рассмотрим, как связано взаимодействие фоно- нов с ангармонизмом. Появление ангармонизма приводит к тому, что частотный спектр каждого фонона становится непрерывным в некоторой области частот вблизи основной частоты со, (в гармоническом приближении частотный спектр фонона описывается 5-функцией аргумента со - со,). Возможность передачи энергии от одного фонона к другому определяется перекрытием между собой областей размытия спектра различных фононов (рис. 2.11). Чем больше степень ангармоничности колебаний и перекрытие частот, тем эффективнее взаимодействие между фононами и тем быстрее устанавливается тепловое равновесие в твердом теле.

Константа фонон-фононного взаимодействия цф_ф по аналогии с рассеянием частиц в слабонеидеальном газе принимается равной следующей величине: рф_ф * л|32пф, где Пф — плотность фононов. Длина свободного пробега фоно- нов лф обратно пропорциональна рф~ф. С понижением температуры лф резко возрастает вследствие сильного уменьшения Пф (эффект «вымораживания» фононов).

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >