ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ СТАТИСТИКИ

Согласно квантовой теории все микрочастицы подразделяются на два класса, которым соответствуют две квантовые статистики:

  • ? частицы с полуцелым спином, их называют фермионы, включаются в статистику Ферми-Дирака;
  • ? частицы с целым спином — бозоны — в статистику Бозе-Эйнштейна.

Физическая природа этих двух квантовых статистик вытекает из принципа тождественности частиц, согласно которому для их описания существуют два типа волновых функций — симметричные и антисимметричные.

В статистике Ферми-Дирака в каждом квантовом состоянии может находиться не более одной частицы (принцип Паули), а в статистике Бозе-Эйнштейна — любое число частиц.

Основная задача квантовых статистик — это нахождение соответствующих им функций распределения частиц по тем или иным параметрам (например, по энергиям), а также определение средних значений этих параметров, характеризующих наиболее вероятное макросостояние всей системы частиц.

Для описания состояния системы частиц рассматривается воображаемое шестимерное пространство, каждая точка которого характеризуется шестью координатами х, у, г, рх, ру, р2. Это так называемое фазовое пространство. Состояние системы определяется тем, как распределены в этом пространстве точки, изображающие состояния всех N частиц системы. При этом необходимо учесть принцип неопределенностей Гейзенберга 8л: • х > к = 2лй, где 5л: • х — неопределенность координаты и импульса соответственно. Поэтому естественно считать, что данному состоянию частицы в фазовом пространстве соответствует не точка, а фазовая ячейка, объем которой

В квантовой статистике вводятся так называемые функции распределения /(е,), определяющие средние числа частиц в одной фазовой ячейке с энергией е,, или функции заполнения ячеек:

для фермионов

для бозонов

Здесь р — так называемый химический потенциал, значение которого можно найти из условия нормировки: суммарное число частиц во всех фазовых ячейках должно быть равно полному числу частиц N макросистемы.

Рассмотрим основные особенности этих распределений:

  • 1. Для фермионов функция /(?,) не может быть больше единицы, а для бозонов ее значение может быть любым (/>0).
  • 2. Если /<к 1, то в знаменателях обоих распределений можно пренебречь единицей и формулы переходят в

т. е. в распределение Больцмана — нормировочный коэффициент). Значит, классическое распределение Больцмана справедливо лишь тогда, когда малы «числа заполнения» фазовых ячеек — при условии {N1) <к 1. В этом случае речь идет о совпадении формул, а не о том, что изменится поведение частиц (фермионы остаются фермионами, бозоны — бозонами).

  • 3. В макросистеме уровни энергии ?, частиц квазине- прерывны (расположены очень плотно). Поэтому индекс I у е, можно опустить.
  • 4. Для бозонов значения р не могут быть положительными, иначе при ?г < р окажется, что / < 0, а это лишено физического смысла. Таким образом, для бозонов р < 0.

Для нахождения числа dZ фазовых ячеек в интервале энергий (е, ? + с1с) сначала найдем соответствующий объем с1Т фазового шестимерного пространства. Он равен произведению объема в пространстве координат V на объем шарового слоя с радиусом, равным импульсу р частоты, и толщиной с1р

Число dZ фазовых ячеек в этом элементе объема получим, разделив dT на объем одной фазовой ячейки, равной (2лЛ)3. Таким образом, число фазовых ячеек будет равно

Зная число dZ фазовых ячеек в интервале энергий (е, е + йс) и среднее число частиц в каждой ячейке f, можно найти число частиц в данном интервале энергий

где множитель и + 1 («7 — момент импульса) определяет число состояний, не связанных с перемещением частицы в пространстве (число возможных проекций спина).

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >