СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ РЕШЕТОЧНЫХ КОЛЕБАНИЙ ЛИНЕЙНОЙ ЦЕПОЧКИ АТОМОВ

Для объяснения некоторых свойств кристалла, обусловленных колебаниями решетки, не требуется полная информация о колебаниях, которая содержится в законе дисперсии, а достаточно знать лишь их распределение по частотам. Имея это в виду, используется понятие спектральной плотности решеточных колебаний.

Рассмотрим одномерную цепочку атомов длиной Ь = ЛГа, где а — расстояние между ближайшими атомами. Характер решеточных колебаний определяется граничными условиями для крайних атомов. Введем циклические граничные условия, которые приводят к и_п = и_п+1у. Такая цепочка может быть представлена в виде кольца. При этих условиях получим

Поэтому

Это приводит к тому, что

где

Итак, волновое число к меняется дискретно с шагом причем каждому колебанию можно сопоставить одно из значений к в интервале (первая зона Бриллюэна), поэтому . Число состояний, приходящихся на интервал А к, обозначим через и, переходя к дифференциалам, получим

В ряде задач необходимо знать зависимость не от /г, а от со, поэтому

где 2 — два направления распространения. Спектральная плотность колебаний ?>(со) определяется как число волн или мод (под модой понимается колебание с определенной частотой), приходящееся на единичный интервал частот:

Ранее получено:

Для моноатомной цепочки имеем

где — максимальная частота.

График функции ?)(со) приведен на рис. 2.6.

Кривая 1)(со) имеет особенность (разрыв) вследствие обращения в нуль производной при Говорят, что

там, где и_гр = 0, у функции Г>(со) появляются сингулярности Ван-Хова. Для двухатомной линейной цепочки вид функции ?)(со) показан на рис. 2.7. Точки, в которых появляются сингулярности, называются критическими (со+, оц, со).

Общий вид кривой Х)(со) показан на рис. 2.8, на примере А1. Хорошо виден подъем параболического типа при малых со, а также особенность 8-образного типа в области достаточно больших частот. Параболический характер колебательного спектра при малых со аналогичен спектру колебаний атомов одноатомной одномерной цепочки, а осо-

Рис. 2.6

Спектральная плотность колебаний ?>(<а) в модели цепочки одинаковых атомов

Рис. 2.7

Плотность состояний 1>(<о) для двухатомной линейной цепочки

Рис. 2.8

Спектр колебаний в решетке А1

бенность 5-образного типа может быть связана с максимальной частотой некоторых типов колебаний.

Спектр колебаний атомов является важной характеристикой кристаллов, и знание этих спектров необходимо для анализа и расчета многих физических свойств кристаллов — оптических, тепловых, электрических и т. п. Этим обусловлено проведение многих экспериментальных и теоретических исследований но определению спектров колебаний атомов кристаллов. В экспериментальных исследованиях наиболее значимые результаты получены нейтронно-графическими, рентгеновскими и оптическими методами.