КОЛЕБАНИЯ ОДНОМЕРНОЙ ЦЕПОЧКИ, СОСТОЯЩЕЙ ИЗ АТОМОВ ДВУХ СОРТОВ

Будем считать (рис. 2.4), что атомы с массами Мит (М > т, например) расположены соответственно в четных и нечетных узлах цепочки.

Уравнения движения двух соседних атомов с номерами 2п и 2п + 1 по аналогии с (2.2) можно записать следующим образом:

Рис. 2.4

Линейная цепочка, состоящая из атомов двух видов

где и2п и и2п+1 — соответствующие смещения 2п-го и (2п + 1)-го атомов из положения равновесия, а ае имеет тот же смысл, что и ранее. Решение будем искать в виде, аналогичном (2.4), принимая во внимание, однако, что теперь колебания атомов разных масс могут происходить с различными амплитудами ^ и р:

Подстановка решений (2.17) в уравнение (2.16) приводит к системе линейных уравнений относительно 2; и р однородных уравнений:

Система уравнений (2.18) имеет решение только тогда, когда детерминант из ее коэффициентов равен нулю:

Раскрывая (2.19), получим биквадратное уравнение для частоты колебаний о, решение которого дает две различные ветви спектра собственных частот со+ и ох_:

(обратим внимание на то, что со+ и со_ также не зависят от номера п и являются собственными частотами колебаний любого из атомов цепочки).

Проанализируем полученный результат. При малых к, Иа <к 1 и він2/га ~ (йа)2. Подставляя в (2.20), найдем:

Рис. 2.5

Зависимость м(/г) для двухатомной одномерной цепочки

Зависимость со(/г) для двухатомной цепочки приведена на рис. 2.5. Видно, что вместо одной ветви со(&) появляются две. Нижняя, начинающаяся от со = О, называется акустической, верхняя — оптической. Таким образом, усложнение цепочки колеблющихся атомов привело к появлению «дополнительного» запрещенного интервала частот колебаний. Стоит указать, что при сближении масс колеблющихся атомов период цепочки становится вдвое меньше, период пространства волновых чисел — вдвое больше, и оптическая ветвь колебаний цепочки из атомов двух сортов превращается в «верхнюю» часть кривой дисперсии моноатомной решетки.

Оценим отношение А в обеих ветвях колебаний. В пре-

л т

деле малых И для акустических колебаний I ~ 1. Это

означает, что акустическая ветвь характеризуется одинаковым смещением атомов обоих видов, происходящих в фазе. Для оптических колебаний (также при малых к)

То есть колебания атомов разного вида происходят в противофазе.

Еще более сложным оказывается спектр колебаний атомов трехмерных кристаллов. Если число атомов базиса равно р, то общее число ветвей колебаний со (И) будет равно Зр. Из них для трех ветвей частоты со(&) = 0 при И = 0, а для остальных Зр - 3 ветвей частоты со(й) при к -» 0 в нуль не обращаются. Соответственно первые три ветви называются акустическими, остальные — оптическими.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >