2. КОЛЕБАНИЯ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ И ЕЕ ТЕПЛОВЫЕ СВОЙСТВА

Колебания атомов относительно их среднего равновесного положения в твердом теле имеют место при любой температуре, даже при абсолютном нуле. При небольших амплитудах такие колебания можно считать гармоническими. Повышение температуры увеличивает амплитуду и энергию этих колебаний.

С колебаниями атомов кристаллической решетки связаны многие физические явления в твердых телах. Они почти полностью определяют такие тепловые свойства изоляторов, как теплопроводность, теплоемкость, тепловое расширение и так далее и вносят главный вклад в теплоемкость металлов.

2.1. ДИНАМИКА РЕШЕТКИ

КОЛЕБАНИЯ АТОМОВ В ОДНОМЕРНОЙ МОНОАТОМНОЙ ЦЕПОЧКЕ

Для того чтобы приступить к качественному анализу колебаний кристаллической решетки, вначале рассмотрим одномерную модель — линейную цепочку атомов. Одномерность модели означает, что каждый атом может смещаться только вдоль одного направления. Рассмотрим цепочку из одинаковых атомов (рис. 2.1).

Рис. 2.1

Линейная модель кристалла

Будем считать, что атомы в цепочках связаны между собой квазиупругими силами с коэффициентом упругости ае. Обозначим через хп равновесное положение л-го атома, а через ип — смещение п-го атома от его положения равновесия. Запишем II закон Ньютона для л-го атома

где — сила, действующая на атом с номером л, складывается из сил, связанных с двумя соседними атомами. Эти силы пропорциональны изменению равновесных расстояний между атомами в цепочке. Одна из этих сил будет равна ае(л„+1 - ип), а другая — ае - и„). В результате имеем

Эти уравнения должны быть написаны для всех атомов, образующих цепочку. В результате получится система огромного числа связанных между собой (зацепляющихся) линейных дифференциальных уравнений. Решить такую систему прямыми методами невозможно. Найдем решение этой системы в виде бегущей волны

где И — волновое число, о — частота волны, Ак — некоторая константа.

Решение снабжено одним индексом к, а не двумя (/г, о), потому что к и со не являются независимыми величинами.

В нашем случае бегущая волна описывает смещения атомов в дискретно расположенных узлах решетки и имеет смысл только при х = па, где а — базисный вектор линейной цепочки, п — любое целое число. Уравнение бегущей волны поэтому можно записать в виде

Подстановка этого выражения в дифференциальное уравнение (2.2) дает

Сократим левую и правую части этого равенства на А^ехр(/&ап - іоі):

Заменив сумму экспонент через косинус, а затем косинус через синус половинного угла, получим закон дисперсии

Полное решение системы уравнения (2.2) следует записать в виде интеграла от решения (2.4):

Таким образом, колебательное движение кристалла может быть представлено в виде системы бегущих волн, амплитуды которых произвольным образом зависят от волнового числа, а частота жестко с ним связана. В трехмерном случае следует рассматривать не волновое число, а волновой вектор /г, и интегрирование должно производиться в трехмерном пространстве, по осям которого отложены составляющие вектора к.

График зависимости частоты со от волнового числа к изображен на рис. 2.2.

Рис. 2.2

Зависимость частоты

от волнового числа в одномерной модели кристалла

Частота оказывается периодической функцией волно-

, , 2л

вого числа: при замене волнового числа «на « + — она воз-

а

вращается к прежнему значению. Значит, область физически различных значений волнового числа имеет шири- 9тг

ну —. Все остальные значения могут быть приведены к а

значениям, лежащим в указанной области. Эту область принято выбирать так, чтобы точка /г = 0 лежала в ее центре. Она носит название первой зоны Бриллюэна.

Периодичность по волновому числу (или по волновому вектору) является следствием пространственной периодичности кристаллической решетки.

При небольших волновых числах (и соответственно низких частотах) синус в выражении для со может быть заменен своим аргументом:

Это равенство определяет фазовую скорость волны иф:

Итак, при низких частотах скорость звуковых волн не зависит от частоты, т. е. не обладает дисперсией. При этом групповая скорость звуковой волны равна фазовой. Эта общая скорость называется скоростью звука а:

Направление скорости определяется знаком волнового числа.

При увеличении частоты (и волнового числа) замена синуса его аргументом становится неправомерной. Фазовая скорость волны / - ' несколько падает с частотой и на границе зоны Бриллюэна уменьшается до значения

которое в полтора раза меньше максимального. Таким образом, при увеличении частоты звуковых волн становится заметна их дисперсия. Групповая скорость волн определяется обычной сЬоомчлой

Рис. 2.3

Изменение фазовой и групповой скорости звуковой волны с волновым числом

Используя соотношение (2.7), получаем

У границы зоны Бриллю- эна групповая скорость обращается в нуль, и бегущая волна превращается в стоячую.

График зависимости скоростей от волнового числа показан на рис. 2.3.

В случае реальных трехмерных кристаллов бегущие звуковые волны характеризуются волновым вектором И. Пространственные звуковые волны периодичны по волновому вектору. Их всегда можно привести в первую зону Бриллюэна, которая в этом случае, конечно, является трехмерной.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >