ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ КОЛЕБАНИЙ

Важным условием в достижении высокой производительности, точности и качества обрабатываемых поверхностей является обеспечение высокой виброустойчивости станков. В связи о этим встает вопрос о необходимости динамических исследований металлорежущих станков и, в частности, основного их элемента — шпиндельного устройства.

При проведении динамических исследований принципиальное значение имеют вопросы схематизации исходной системы и обоснования динамической модели объекта [23]. Параметры динамической модели должны достаточно полно соответствовать реальным конструктивным параметрам шпиндельного устройства, что позволит оценить влияние этих параметров на динамические характеристики шпиндельного узла.

Под математической моделью шпиндельного устройства понимается совокупность квазиупругой, инерционной и диссипативной матриц модели. Разработка математической модели шпиндельного устройства позволяет построить алгоритмы, по которым можно найти коэффициенты этих матриц по реальным параметрам конструкции. Располагая динамической моделью станка, можно решить ряд задач, имеющих практическое значение, а именно: расчетное построение амплитудно-фазовых частотных характеристик; анализ вынужденных колебаний шпиндельных устройств; ряд задач синтеза параметров шпиндельного устройства по динамическим критериям; расчет станков на устойчивость процесса резания [24, 104].

Одной из задач динамического исследования шпиндельных устройств является определение собственных частот изгибных колебаний. При решении этой задачи необходимо учесть такие особенности рассматриваемой системы, как переменный момент инерции поперечного сечения, податливые опоры и т. д. Учет податливости опор многопролетных балок может оказать существенное влияние на значения собственных частот в том случае, когда массы, находящиеся по разным сторонам податливой опоры, колеблются в соответствующей форме колебаний в одну сторону [25, 66]. Рассмотрим алгоритм определения собственных частот колебаний шпиндельных устройств с учетом нелинейной податливости опор на примере шпинделей плоскошлифовальных станков.

В качестве базовой модели шпиндельных устройств плоскошлифовальных станков принята динамическая модель с сосредоточенными параметрами (рис. 3.7), так как для такой системы наиболее целесообразно проводить анализ устойчивости [24].

На рис. 3.7 обозначено: т₄,т₂,т₃ — приведенные массы упругой системы шпиндельного устройства (кг); С_х = С* — поступательная

Рис. 3.7

Обобщенная модель шпиндельного устройства плоскошлифовальных станков жесткость левой опоры (Н/м); С₂=С? —поступательная жесткость правой опоры (Н/м); С_х = С“,С₂ =С* — поворотная жесткость левой и правой опор соответственно (Н/м); 1_Х — расстояние от приводного шкива до первой опоры; а — расстояние от первой опоры до приведенной массы пролета; Ь — расстояние от приведенной массы пролета до второй опоры; 1₂ — расстояние от второй опоры до центра шлифовального круга. В дальнейшем принимаем следующую систему координат: начало совмещаем с центром шлифовального круга (правый торец), ось X совпадает с осью шпиндельного устройства, ось У направлена вертикально вниз.

Используя метод гармонической линеаризации, найдем, что жесткость опор зависит от амплитуды колебаний на опоре. Вообще, для установки опоры с натягом имеем:

где С™, — поступательная жесткость левой (правой) опоры при нулевом натяге (зазоре) (Н/м); Н — натяг опоры (м); а_л — амплитуда линейных колебаний на опоре (м); С™_п — поворотная жесткость левой (правой) опоры при нулевом натяге (зазоре) (Н/м).

Для установки опоры с зазором:

где 5 — зазор в опоре.

Для плоскошлифовальных станков необходимо использовать формулу для посадки с зазором.

Запишем выражение для упругой линии систем. На первом участке (рис. 3.7) прогиб шпинделя характеризуется выражением:

где С_х и С₂ — постоянные интегрирования; х — абсцисса сечения; EJ — изгибная четкость вала, с учетом того, что шпиндель на всей своей длине имеет одинаковый диаметр; К_х, К₂, К₃, К_х — функ-

ции Крылова [22]:

где Р_х, М_х — амплитудные значения силы и момента на правом торце шпинделя (т₃); к — параметр, связанный с инерционными и частотными характеристиками системы соотношением

где со — собственная частота колебаний.

Аналогично запишем выражение для прогибов на 2, 3, 4 участках шпинделя:

где Р₂, М₂ — амплитудные значения силы и момента на второй опоре; Р₃, М₃ — амплитудные значения силы и момента на второй массе (т₂); Р_х, М₄ — амплитудные значения силы и момента на первой опоре.

Для нахождения неизвестных в уравнениях (3.24; 3.26) запишем систему краевых условий:

Преобразовав систему (3.27) с использованием уравнений (3.24; 3.25; 3.26), получим систему уравнений в матричной форме:

где У* — безразмерный вектор неизвестных

где У₀ — масштабное значение деформации, в качестве величины У₀ целесообразно принять статический прогиб на консоли под действием заданных сил; а" — безразмерные амплитудные параметры, выражающиеся через функции Крылова. Для упрощения решения системы уравнений (3.28) обозначим: Ь — базовый размер; к* — масштабный параметр: к’ = кЬ.

Условие нетривиального решения системы (3.27) приводит к частотному уравнению: detA(k*, а*) = 0.

Решая это уравнение, можно получить ряд значений /г* и соответственно спектр собственных частот:

для каждого значения безразмерного амплитудного параметра а* в заданном частотном диапазоне. Неизвестные и₂, и₃, ..., о₁₀ могут быть определены при заданном и_х из системы для данного /г*. Так же можно получить формы колебаний шпинделя на каждой частоте для выбранной величины параметра а*, характеризующего уровень нелинейности в системе.

Проведенное исследование позволяет не только определить важнейшие характеристики колебательного процесса — собственные частоты колебаний, но и получить выражение упругой линии шпинделя, что позволит провести достаточно корректный учет демпфирования колебательной системы и необходимые динамические расчеты шпиндельных устройств.