ПЕРВАЯ МЕТОДОЛОГИЯ КОМПЬЮТЕРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ НАНОСИСТЕМ

ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ КОМПЬЮТЕРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Рассматривая элементарную картину общего метода познания мира (рис. 1.1), можно идентифицировать реальный и умозрительный миры.

В реальном мире наблюдают различные явления и процессы, происходящие как в природной, так и в техногенной среде. Умозрительный мир — это мир ума, описывающий представление людей о реальном (внешнем) мире с помощью наблюдения, моделирования и предсказания.

В процессе наблюдения фиксируют то, что происходит в реальном мире, путем сбора и анализа эмпирических данных и фактов. Наблюдения могут быть прямыми, на основании чувств человека, или косвенными, когда проводятся измерения, на основе которых делаются выводы. Например, устанавливается наличие химической реакции по ее результатам.

При моделировании используются модели трех типов:

  • ? описывающие поведение объектов или результаты наблюдений за явлениями;
  • ? объясняющие причину такого поведения и получение таких результатов;
  • ? позволяющие предсказать поведение и результаты в будущем (явления еще не происходят).

Процесс предсказания позволяет выяснить, что случится в ходе эксперимента или при возникновении определенных событий в реальном мире. Результаты предсказания сопровождаются наблюдением для того, чтобы подтвердить или отвергнуть модель.

Первый шаг в научном методе познания начинается с формулировки гипотезы. Гипотеза — это только предположение или логическое заключение из анализа уже известных фактов. В дальнейшем гипотезу детально развивают и сравнивают с достоверными данными. Если она подтверждается, то гипотезу уже называют теорией, которая имеет свои особенности: объясняет наблюдаемые явления, предсказывает результаты будущих экспериментов и может быть представлена в математической форме. Путем тестирования теории выявляют пределы ее применимости. Когда теория в течение многих лет широко используется и правильно описывает явления и процессы, она приобретает статус научного закона.

Существуют различные уровни научного познания. Одни общенаучные методы применяются только на эмпирическом уровне (наблюдение, эксперимент, измерение), другие — только на теоретическом (идеализация, формализация), но есть и такие (например, моделирование), которые используются как на эмпирическом, так и на теоретическом уровнях.

Эмпирический уровень научного познания характеризуется непосредственным исследованием реально существующих, чувственно воспринимаемых объектов. Путем проведения наблюдений, выполнения разнообразных измерений, постановки экспериментов осуществляется процесс накопления информации об исследуемых объектах, явлениях, производится первичная систематизация получаемых фактических данных в виде таблиц, схем, графиков и т. п. Кроме того, на этом уровне научного познания (как следствие обобщения научных фактов) возможно

Рис. 1.1

Элементарное описание общего метода познания

формулирование некоторых эмпирических закономерно стей.

Теоретический уровень на учного исследования присуп рациональной (логической ступени познания. Происхо дит раскрытие наиболее глу боких, существенных сторон связей, закономерностей, относящихся к изучаемым объектам, явлениям. Теоретический уровень — самая высокая ступень в научном познании. Результатами такого познания становятся гипотезы, теории, законы.

Выделяя в научном исследовании два уровня, не следует, однако, отрывать один от другого и противопоставлять их, поскольку они тесно взаимосвязаны. Эмпирический уровень выступает в качестве основы, фундамента теоретического осмысления научных фактов и получаемых статистических данных. В то же время теоретическое мышление неизбежно опирается на чувственно-наглядные образы (в том числе схемы, графики и т. п.), с которыми имеет дело эмпирический уровень исследования. В свою очередь, эмпирический уровень научного познания не может существовать без достижений теоретического уровня. Эмпирическое исследование обычно опирается на определенную теоретическую конструкцию, которая определяет направление этого исследования, обусловливает и обосновывает применяемые при этом методы.

Моделирование — это особый метод познания окружающего мира, который относится к общенаучным методам. Он может применяться как на эмпирическом, так и на теоретическом уровнях. В английском языке для понятия моделирования существуют два термина: modeling и simulation. Первый означает моделирование, основанное главным образом на теоретических положениях, а второй — воспроизведение, имитацию состояния системы на основе анализа ее поведения (имитационное моделирование).

Моделирование не является расширением теории или эксперимента — его следует рассматривать как отдельную позицию между теорией и экспериментом. Более того, моделирование является новым видом получения научных знаний с некоторыми общими чертами, заимствованными из теории и эксперимента. Можно считать, что моделирование как третий метод исследования должен интегрироваться в научную практику в качестве нового элемента «самовоспроизводства науки».

Обычно моделирование используется для вычисления таких величин, которые нельзя получить из ограниченных по своим возможностям теоретических моделей. Если теория дает желаемые количественные выводы, то моделирование вряд ли необходимо. Но моделирование часто применяется и для расширения теоретических моделей с целью получения новых эмпирических открытий, а также для расширения эмпирических понятий в тех областях, где они пока не могут быть получены. В этом случае большая роль принадлежит вычислительному эксперименту.

На долю прикладной математики и первых, еще несовершенных ЭВМ выпало решение сложных математических задач ядерной физики, баллистики, прикладной небесной механики. Именно при их решении стало ясно, что резкое увеличение производительности вычислительного труда означает переход к новому способу проведения теоретических исследований. В дальнейшем, развиваясь и совершенствуясь при решении разнообразных актуальных, прежде всего физических задач, этот стиль теоретического анализа трансформировался в новую современную технологию и методологию проведения теоретических исследований, которая получила название вычислительного эксперимента (табл. 1.1).

Основой вычислительного эксперимента является математическое моделирование, теоретической базой — прикладная математика, а технической — мощные электронные вычислительные машины. Использование вычислительного эксперимента как средства решения сложных прикладных проблем имеет в случае каждой конкретной задачи свои специфические особенности. Тем не менее

Таблица 1.1

Аналогии между вычислительным и лабораторным экспериментами

Лабораторный эксперимент

Выч исл ительн ы й экспери мент

Образец

Модель

Физический прибор

Программа для компьютера

Калибровка

Тестирование программы

Измерение

Расчет

Анализ данных

Анализ данных

Рис. 1.2

Схема технологического цикла вычислительного эксперимента:

1 — построение математической модели; 2 — составление разностной схемы; 3 — программирование; 4 — расчеты на комьютере; 5 — сравнение результатов расчета с данными опыта, уточнение моделей.

всегда четко просматриваются общие характерные основные черты, позволяющие говорить о единой структуре этого процесса.

В настоящее время технологический цикл вычислительного эксперимента принято разделять на ряд этапов. И хотя такое деление в значительной степени условно, оно позволяет лучше понять существо этого метода проведения теоретических исследований (рис. 1.2).

1-й этап — построение модели. Сначала выбирается физическая модель и проводится разделение всех действующих в рассматриваемом явлении факторов на главные, обязательные для учета, и второстепенные — на данном этапе исследования они могут быть отброшены. Одновременно формулируются допущения или рамки применимости модели, в которых будут справедливы полученные на ее основе результаты. Эта модель записывается в математических терминах, как правило, в виде дифференциальных или интегро-дифференциальных уравнений.

Работа по конструированию математической модели чаще всего проводится объединенными усилиями специалистов (физиков, химиков, биологов, медиков, экономистов и др.), хорошо знающих данную предметную область, и математиков, владеющих информацией об уровне развития соответствующего раздела прикладной математики и способных оценить возможность решения возникающей математической задачи. Важно подчеркнуть, что вычислительный эксперимент не только не отвергает традиционных классических методов анализа, но и предполагает их самое активное использование. Кроме того, на долю математиков выпадает и предварительное исследование математической модели — корректно ли поставлена задача, имеет ли она решение, единственно ли оно и т. д. К сожалению, для актуальных сложных задач, которые в изобилии представляет современная наука и техника, подобное исследование удается выполнить лишь в исключительных случаях. Тем более, что ни одна, даже самая совершенная математическая модель не может быть адекватной реальности. Природа гораздо богаче и разнообразнее в своих проявлениях, чем любые модели, являющиеся лишь ее бледными копиями.

  • 2- й этап вычислительного эксперимента связан с разработкой метода расчета сформулированной математической задачи (вычислительного алгоритма). Фактически он представляет собой совокупность цепочек алгебраических формул, по которым ведутся вычисления, и логических условий, позволяющих установить последовательность применения этих формул. Как правило, для одной и той же математической задачи может быть предложено большое количество вычислительных алгоритмов. Это означает, что среди такого разнообразия алгоритмов не все одинаковы по своим качествам. Есть алгоритмы хорошие и плохие, и нужно уметь отличать одни от других. Решением таких вопросов занимается теория численных методов. Общая цель этой теории — построение эффективных вычислительных методов, которые позволяют получить решение поставленной задачи с заданной точностью за минимальное количество действий (арифметических, логических), т. е. с минимальными затратами машинного времени.
  • 3- й этап — создание программы для реализации разработанного алгоритма на компьютере. Современное программирование является самостоятельной наукой со своими фундаментальными принципами, подходами и методами. Поэтому программное обеспечение представляет собой сложную систему, включающую языки, трансляторы, операционные системы, библиотеки стандартных программ и пр. Это обеспечение составляет неотъемлемую часть компьютерных расчетов, часто по стоимости превышающую стоимость самого оборудования.
  • 4-й этап — проведение расчетов на компьютере. Здесь наиболее отчетливо проявляется сходство с натурным экспериментом. Различие в том, что в лаборатории экспериментатор с помощью специально построенной установки «задает вопросы» природе, в то время как специалисты по вычислительному эксперименту с помощью компьютера ставят эти вопросы математической модели. Ответ в обоих случаях получается в виде некоторой цифровой информации, которую затем предстоит расшифровать. Причем в современных физических экспериментах со сложными объектами или процессами каждое измерение температуры, плотности, скорости и т. д. дается с большим трудом. Иногда нужную информацию приходится извлекать из косвенных данных. Точность полученных результатов, как правило, невелика.

Что касается вычислительного эксперимента, то компьютер в процессе расчета может выдавать любую информацию, представляющую интерес для исследователя. Конечно, точность этой информации определяется достоверностью самой модели. Именно по этой причине проводят тестовые расчеты. Они необходимы для того, чтобы «отладить» программу и проверить адекватность математической модели. Только после этого наступает фаза прогноза — с помощью математического моделирования предсказывается поведение исследуемого объекта в условиях, где эксперименты пока не проводились или где они вообще невозможны.

К четвертому этапу тесно примыкает 5-й этап вычислительного эксперимента — обработка результатов расчетов, их всесторонний анализ и выводы, после которых или становится ясна необходимость уточнения модели, или результаты, пройдя проверку на разумность и надежность, передаются заказчику для исполнения. Однако чаще выясняются какие-либо необычные формы протекания изучаемого процесса или неожиданные режимы работы проектируемой системы, соответственно, возникает потребность уточнить те или иные детали продесса. Математическая модель при этом, как правило, усложняется, и начинается новый цикл вычислительного эксперимента.

Почему численное моделирование так важно в настоящее время? Одна из причин заключается в том, что большинство применяемых аналитических средств, таких как дифференциальное исчисление, больше всего подходит для исследования линейных задач. Формально это уравнения, в которые неизвестные входят только в первой степени; реально они описывают процессы, протекающие одинаково при разных внешних воздействиях. С увеличением интенсивности таких воздействий изменения в системе пропорционально возрастают, при этом новых качеств не возникает. Область применения линейных уравнений необычайно широка. Она охватывает классическую и квантовую механику, электродинамику и теорию волн. Методы их решения, которые разрабатывались в течение длительного времени, обладают большой общностью и эффективностью.

Однако множество природных процессов — нелинейные, так что малые изменения одной переменной могут привести к неожиданно большим изменениям в другой переменной и будет иметь место качественно иное поведение системы. Поскольку нелинейные задачи удается решить аналитическими методами только в отдельных случаях, то появляется необходимость численных методов для исследования нелинейных явлений.

Другая причина важности численного моделирования связана с тем, что очень часто исследуемые системы обладают многими степенями свободы и множеством переменных.

В зависимости от сложности исследуемых процессов и степени их теоретического обоснования используются различные модели, которые могут быть классифицированы следующим образом: «белый ящик», «черный ящик» и «серый ящик» (см. табл. 1.2).

Если физические процессы, протекающие на рассматриваемых объектах, описываются множеством нелинейных уравнений, когда теоретическая основа для расчетных

Та б л и ц а 1.2

Сравнение свойств моделей «белый ящик», «черный ящик» и «серый ящик»

Критерии

сравнения

«Белый ящик»

«Черный ящик»

«Серый ящик»

Источники

информации

Базовые физические законы

Эксперименты

Качественное знание процессов

Понимание

физики

процессов

Данные

Сочетание понимания физики процессов и наличия данных

Хорошая

экстраполяция

Низкая стоимость разработки

Особенности

Высокая надежность

Небольшая область знаний

См. примечание

Масштабируемость

Неясный механизм процессов

Большие затра-

Нет надежной экстраполяции

ты времени

Нем асштаб иру е - мость

См. примеча- ние

Недостатки

Требование об- ширных знаний

Требование достоверности и точности данных

Слабое понимание физики процессов

Области приме нения

Планирование, разработка, конструирование

Достаточно простые и хорошо изученные процессы

Динамические и достаточно сложные процессы

См. примечание

Примечание. В незаполненных полях для моделей «серый ящик» могут быть рааличные комбинации свойств моделей «белый» и «черный ящик».

моделей является прозрачной, основанной на известных физических и химических законах и свойствах, то такая модель может быть представлена как «белый ящик». Полученные трехмерные конечноэлементные модели могут дать точные описания всех физических процессов. Однако такие модели являются сложными в разработке и предъявляют повышенные требования к вычислительным ресурсам. Кроме того, модели «белый ящик» не позволяют проводить анализ процессов в реальном масштабе времени.

Модели «черный ящик» основаны на наличии экспериментальных данных и не требуют никакой априорной информации. Они достаточно хорошо изучены и просты для работы в реальном масштабе времени. В то же время такие модели должны регулярно обновляться с появлением новых экспериментальных данных.

Моделирование на основе «черного ящика» иногда используется как синоним понятия идентификации системы. Иными словами, идентификация системы — это теория разработки математических моделей динамических систем по результатам измерений.

На начальных стадиях моделирования процессов использовались модели «белый ящик» и «черный ящик». В то же время в первых сложно использовать динамические характеристики системы, а вторые не учитывают известные основные закономерности процессов. Таким образом, возникла необходимость разработки новой технологии моделирования, основанной на принципах «серого ящика», которая учитывает закономерности процесса и позволяет проводить контроль за параметрами системы в динамическом режиме. Структурная схема модели «серый ящик» условно показана на рис. 1.3.

Рис. 1.3

Структурная схема моделирования по принципу «серый ящик»

Модель «серый ящик» является сбалансированной системой, которая по своей сущности не что иное, как компромисс между сложностью модели «белый ящик» и возможностями модели «черный ящик» по прогнозированию процессов.

Одним из существенных понятий в модели «серый ящик» являются так называемые базисные элементы, включающие имеющуюся информацию о поведении системы в виде простых аналитических функций и выражений. Вид этих элементарных функций увязывается с поведением системы. Базисные элементы могут иметь в модели системы разнообразные формы и подвергаться изменениям (мутациям).

Важно обратить внимание на то, что выбор метода моделирования очень сильно зависит от типа моделируемой системы и задачи, для которой эта модель создается. Например, информационные системы из-за их дискретного характера плохо поддаются моделированию, основанному на энергетическом обмене. Непрерывные системы лучше всего моделируются дифференциальными уравнениями, в случае необходимости дополненными алгебраическими связями.

В настоящее время развиваются инструментальные средства, которые включают различные взаимосогласованные методы моделирования.

Интересно отметить, что мощное развитие компьютерной технологии приводит к новому взгляду на описание физических процессов.

Постановка вопроса: «Как можно сформулировать задачу на компьютере?» уже привела к новым формулировкам физических законов и осознанию того, что насколько практично и естественно выражать научные законы в виде задач для компьютера, а не на языке дифференциальных уравнений. Такой новый взгляд на физические процессы может привести к тому, чтобы рассматривать уже сам компьютер как некую физическую систему и разрабатывать его новейшие архитектуры с учетом более эффективного моделирования природных физических явлений.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >