Математическая модель сжатия цифровых изображений

Основу данной модели составляет декоррелирующее преобразование, подобное преобразованию Фурье, отображающему дискретную функцию двух переменных, которой является изображение, из пространственной области в частотную 115, 31, 51]. Исходная функция представляется в виде суммы элементарных функций различных частот, причем низкочастотные составляющие определяют общий вид функции, а высокочастотные — ее поведение на локальных участках.

Если значения дискретной функции связаны между собой пространственной избыточностью, то для приближенного восстановления исходной функции достаточно нескольких низкочастотных компонент, остальными допустимо пренебречь. Количество наиболее информативных низкочастотных компонент определяется видом преобразуемой функции. В предельном случае, когда все исходные значения одинаковы, вся информация будет сосредоточена в одной низкочастотной составляющей.

Применительно к цифровым изображениям низкочастотные составляющие частотного преобразования соответствуют усредненному значению пикселей в заданной области изображения и определяют огрубленное (сглаженное) представление данной области. В свою очередь, высокочастотные составляющие соответствуют отклонениям от среднего значения и отвечают за резкость рассматриваемой области, определяя контуры объектов и мелкие детали.

После применения декоррелирующето преобразования элементы изображения оказываются связанными друг с другом лишь статистической избыточностью, что наряд*' с уменьшением диапазона значений высокочастотных составляющих позволяет успешно применять статистические методы сжатия.

Математическая модель сжатия цифровых изображений, основанная на описанном выше подходе, выглядит следующим образом.

Прежде всего, изображение подвергается предварительной обработке, которая может заключаться в преобразовании цветовой модели, добавлении некоторого количества строк и столбцов, подвыборке пикселей и т. д. Данный этап трудно формализовать в общем виде, поскольку здесь может расширяться область определения функции, представляющей изображение, или изменяться область значений, что определяется конкретным алгоритмом сжатия. Однако необходимо отметить, что данный этап в отличие от последующих осуществляется в пространственной области.

Затем осуществляется построенное на основе некоторого ортогонального базиса декоррелирующее преобразование, которое независимо от используемого математического аппарата приводит к удалению пространственной избыточности, связывающей элементы исходного изображения (или преобразованного изображения, полученного после предварительной обработки), и выявлению статистической избыточности. Декоррелирующее преобразование применяется не ко всему изображению, а к некоторым его участкам равного размера, называемым блоками. Это обусловлено тем, что пространственная избыточность, присущая изображениям, является локальной: каждый пиксель коррелирует с ограниченным числом других пикселей по горизонтали и вертикали. Обычно в качестве локальной области с существенной пространственной избыточностью принимают блок изображения размером 8x8 пикселей.

Переход из пространственной области f(x, у) в частотную д(и, а) является отображением из множества целых чисел в множество вещественных чисел:

Данное уточнение является крайне существенным. Приведенное выше утверждение о том, что декоррелирующее преобразование уменьшает мощность алфавита, из которого принимают значения элементы изображения, в общем случае является неверным. Значения высокочастотных составляющих частотного преобразования (но не низкочастотных) действительно становятся на порядки меньше по сравнению со значениями пикселей. Однако эти значения являются вещественными, и вероятность появления одинаковых значений крайне мала. Поэтому сжатие становится возможным лишь после обратного перехода к целым числам посредством округления, либо

Обобщенная модель сжатия цифровых изображений

Рис. 1.1. Обобщенная модель сжатия цифровых изображений

после перехода к вещественным числам с меньшей точностью посредством округления до одного-двух знаков после запятой.

Округление является необратимой операцией и может использоваться, если при сжатии предусмотрены потери информации. В противном случае декоррелирующее преобразование организуется таким образом, чтобы преобразованные элементы изображения оставались целыми или вещественными с одним-двумя знаками после запятой.

Этап округления естественно совмещается со следующим этапом, называемым квантованием, на котором и происходят основные потери информации. Квантование заключается в делении полученных частотных составляющих на некоторые коэффициенты и округлении результата [13, 65, 107]. Для этого вводится функция q(x,y), определяющая для каждого элемента преобразованного изображения коэффициент квантования

Квантование обнуляет малозначимые высокочастотные составляющие, что приводит к появлению серий нулей среди преобразованных элементов изображения. Уровень значимости определяется функцией q(x, у) — чем больше будут ее значения, тем более длинные серии нулей будут иметь место и тем сильнее восстановленное изображение будет отличаться от исходного.

Последним этапом является статистическое сжатие квантованных элементов изображения. Обычно для этого используется кодирование Хаффмана 112] или арифметическое кодирование [56, 58, 106]. Значения функции дч(х,у) рассматриваются как произвольные текстовые данные, обладающие статистической избыточностью. Большое значение имеет порядок обхода матрицы, в которой представлены значения указанной функции, выбираемый таким образом, чтобы нули, получаемые в результате квантования, образовывали серии максимальной длины.

Рассмотренная обобщенная модель сжатия цифровых изображений представлена на рис. 1.1. Данная модель описывает случай сжатия с потерями, когда высокая степень сжатия может быть достигнута путем удаления из исходного изображения некоторого количества информации. Сжатие без потерь можно описать аналогичным образом, но убрав этап квантования и исключив возможность необратимых потерь информации на этапе предварительной обработки |83, 100|.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >