Общие вопросы теории подобия и моделирования

Теоретические основы подобия и моделирования применительно к задачам электроэнергетики были заложены в 60—70-х годах прошлого века в работах, выполненных выдающимся ученым В.А. Вениковым, его учениками и коллегами.

Исходя из гносеологической роли моделирования, а также тесно связанного с ним подобия процессов и устройств, можно выделить то «... общее, что присуще всем моделям. Это общее заключается в наличии некой структуры (статической или динамической, материальной или мысленной), которая действительно подобна или рассматривается в качестве подобной структуре другой системы» [12].

Следовательно, модель представляет собой естественный или искусственный объект (процесс, явление), находящийся в соответствии с одной или несколькими сторонами изучаемого объекта (процесса, явления). Иными словами, модель подобна явлению, пространственной искусственной или естественной структуре. Например, модель сооружения, воплощенная в чертежах, подобна самому сооружению в отношении размеров, формы, тех или иных свойств.

Важно отметить, что не существует универсальных моделей, отображающих все свойства объекта. Модель всегда целенаправленна и носит прикладной характер в отношении ограниченного круга решаемых задач. Так, разрабатываемая сегодня ПД и РД на строительство энергоблока, ТЭС, подстанции не позволяет прямым образом исследовать их режимные характеристики. Для этого создаются особые расчетные модели, практически не связанные с выполненными чертежами. Интегрировать структуру и режимы в одной виртуальной модели — эго главная задача интеллектуального инжиниринга.

Основные следствия, вытекающие из определения категории «отображение», изучаемой в теории познания[1], в частности в гносеологии, позволяют выделить два типа моделирования:

  • моделирование как познавательный процесс переработки информации об изучаемом явлении, процессе;
  • моделирование как создание системы-модели, имеющей определенное сходство с системой-оригиналом.

В первом случае в сознании субъекта (человека) появляются образы, имеющие какое-то сходство с изучаемыми объектами. Эти образы дают возможность выявить требуемые свойства процесса (явления, системы) в его взаимодействии с другими процессами (явлениями, системами). При этом моделирование носит мысленный характер, его применяют в научных исследованиях.

Во втором случае появляется искусственная материальная система, рассматриваемая как отображение реальной системы, связанной с искусственной соотношением подобия. Здесь уже моделирование — это «материальный» акт, приводящий к созданию специальных установок, устройств; сфера инженерной деятельности, инжиниринга.

Понятие «модель» тесно связано с понятием «информация», которое до сих пор не получило однозначного толкования [5, 6, 38, 41]. В [12] под информацией понимается «содержание воздействия, его величина, изменение в пространстве и во времени, взятые в отрыве от первичного носителя воздействия и от его энергетических свойств». Получение информации невозможно без моделирования, так как, чтобы выявить любое физическое воздействие, его необходимо каким-то образом зафиксировать (запомнить), а следовательно, отразить в структуре воспринимающей системы (включая субъекта познания — человека).

Моделирование возникло в процессе опытного изучения мира, а само это слово произошло от латинских слов modus, modulus, означающих меру, образ, способ. Различные предметы, сделанные в качестве прообраза чего- либо, являющиеся образцами для других предметов, стали называть моделями. Наиболее важным в контексте гносеологии является то, что любая модель может быть выполнена только на основе измерений, понимаемых в самом широком смысле как получение информации, знания. Моделирование же само является средством получения информации об объекте.

В го же время измерение в широком смысле — эго тоже моделирование, генерирование сигнала, подобного контролируемому параметру. Действительно, результат измерения физической величины, например давления с помощью манометра, отражает, во-первых, характеристику модели установки, а во-вторых, в зависимости от применяемого метода представляет собой данные функционального, математического или иного вида моделирования (см. ниже). Следует также отметить, что измерение и моделирование роднит ещё один важный признак: они невозможны без априорного представления об объекте, т. е. без его моделирования, так сказать, «нулевого порядка». Таким образом, налицо диалектическое единство этих понятий.

В науке термин «модель» употребляется достаточно широко, но не всегда однозначно. Ему придают чаще всего двоякий смысл. Во-первых, под моделью понимают образец чего-либо или структуру (созданную мысленно или воплощенную в материальном объекте), представляющую в удобной для восприятия форме состояние изучаемой системы. Во-вторых, при теоретическом подходе моделью считают изображение изучаемой системы (процесса, явления), построенное с помощью другой системы, более привычной и лучше изученной, что облегчает понимание первой системы. Последний случай напрямую связан с понятием математической модели, гомоморфизмом и изоморфизмом [111].

Пусть М — математическая модель, состоящая из объектов а, Ь, ... и включающая в себя операции О, Р, ..., результаты О (а, Ь, ...), Р(а, Ь, ...) которых являются элементами модели М. Вторая модель М'с операцией 0'{а', Ь', ...) называется гомоморфным образом модели Мотносительно операций О (а, Ь, ...) и О а', Ь', ...), в следующих случаях:

  • 1) если существует отображение а -> а' множества элементов модели М на М'
  • 2) если при этом отображении О (а, Ь, ...) —> 0'(а', Ь',...).

Отображение с этими свойствами называется гомоморфизмом модели М в модель А/'; оно сохраняет все отношения, базирующиеся на рассматриваемой операции, т.е. каждое такое отношение между элементами а, Ь, ... модели М порождает соответствующее отношение между элементами а', Ь', ... модели М'.

Гомоморфизм, отображающий модель М в себя, называется эндоморфизмом.

Изоморфизм — это взаимооднозначный гомоморфизм. Если существует изоморфизм модели М на М', то модели М и М' называются изоморфными относительно рассматриваемых операций. В этом случае как отображение М —> М так и обратное отображение М' —> М являются гомоморфизмами. Изоморфизм, отображающий модель М на себя, называется автоморфизмом модели М.

Понятия гомоморфизма и родственные с ним понятия изоморфизма и автоморфизма имеют огромное практическое значение, так как позволяют представлять одну модель в виде другой модели[2]. Отметим, что изоморфизм есть отношение эквивалентности между моделями: свойство целого класса изоморфных моделей можно выводить из свойств любой модели этого класса.

Изоморфизм и гомоморфизм — логико-математические понятия, выражающие уподобление (гомоморфизм) либо одинаковость (изоморфизм) строения систем. Две системы М и М называются изоморфными, если между их элементами, а также функциями, свойствами и отношениями, имеющими смысл для этих систем, существует или может быть установлено взаимооднозначное соответствие.

Изоморфизм — сходство двух или более объектов по форме или строению. Он может наблюдаться на любом структурном уровне, начиная от молекул и заканчивая целыми организмами, техническими устройствами и системами.

Ослабление перечисленных условий, например требование наличия взаимооднозначного соответствия только в одну сторону, приводит к более общему, но и более слабому отношению гомоморфизма. Изоморфный образ полностью воспроизводит отображаемую систему; например, зеркальное изображение изоморфно отображаемому предмету, схема радиоприемника изоморфна самому приемнику. Гомоморфный образ лишь отчасти похож на свой оригинал: карта местности воспроизводит лишь некоторые характеристики этой местности, перевод языкового текста лишь отчасти похож на оригинал. Строительные и машиностроительные чертежи, алгоритмы расчетов свойств и режимов оборудования, зданий и сооружений — это тоже примеры гомоморфных отображений физических объектов на специально созданные модели. Всякий изоморфизм есть гомоморфизм, но не наоборот.

С учетом вышеизложенного в [12] модель определяется как любой объект (процесс, явление, установка, знаковое образование), подобный моделируемому объекту. При этом теоретические и практические задачи, решаемые с помощью моделей, подразделяются на следующие четыре группы:

  • 1. Прямые задачи анализа, при решении которых исследуемая система задается параметрами своих элементов и исходного режима (структурой и уравнениями). Требуется определить реакцию системы на действующие силы. К прямым задачам относятся задачи исключения методической погрешности при выполнении различных измерений, задачи изучения свойств эксплуатируемого объекта при внешних возмущениях — системных авариях для станций, коротких замыканиях для подстанций и т.п.
  • 2. Обратные задачи анализа, при решении которых по известной реакции системы требуется найти возмущения, заставившие систему перейти в данное состояние. На практике такие задачи решаются при расследовании аварий и инцидентов в ЭЭС и на энергообъектах.
  • 3. Задачи синтеза структуры ТС, требующие нахождения таких параметров системы, при которых процессы в ней будут иметь желаемый количественный или качественный характер. Эти задачи решаются для энергообъектов в процессе выполнении предпроектной (концепции, ОИ) и проектной (ПД, РД) документации.
  • 4. Индуктивные задачи, решение которых выполняется в целях проверки гипотез; уточнения уравнений, описывающих процессы, происходящие в системе; выяснения свойств элементов. К данной группе задач следует отнести проверку (апробацию) программ (алгоритмов) расчетов на ЭВМ, чтобы избежать ошибок при моделировании. Индуктивные задачи решаются при имитационном и предсказательном моделировании ТС.

Классификация методов моделирования и подобия основана на признаках полноты и точности воспроизведения изучаемых систем (процессов, явлений). При этом следует помнить, что модель не может абсолютно полно воспроизводить все стороны и детали изучаемой системы, т.е. абсолютное подобие невозможно, потому что это означало бы тождественную замену одного объекта другим. Приведем одну из возможных классификаций, основанную на практическом опыте.

  • 1. Полное моделирование и подобие. Обеспечивается подобие движения материи в основных, требуемых по условиям задачи, формах ее существования — во времени и пространстве. Этот метод осуществляется при научных исследованиях, в инжиниринге практически не встречается.
  • 2. Неполное моделирование и подобие. Протекание процессов, характеризующих систему (процесс, явление), происходит с частичным подобием (или только во времени, или только в пространстве).

Разновидностью неполного моделирования служит функциональное моделирование, при котором подобие устанавливается между некоторыми функциями или обобщенными характеристиками модели и оригинала. Этот метод применяется при эксплуатации ЭЭС и энергообъектов для решения важнейших задач управления, связанных с безопасностью и надежностью ТС.

3. Приближенное моделирование. Метод связан с приближенным подобием, при котором ряд факторов, не являющихся решающими для понимания процесса в данной задаче, моделируются приближенно или совсем не моделируются. Здесь между некоторыми параметрами систем или режимов может не существовать соотношений подобия, что заведомо вызывает появление погрешности, которую надо оценить тем или иным способом.

Данный метод моделирования — основной в строительном инжиниринге, он же служит основой планирования режимов, продаж, любых технико-экономических расчетов.

Свойства приближенного моделирования таковы:

  • • оно может быть как полным, так и неполным;
  • • при его реализации обязательно имеются сознательно допускаемые погрешности, которые должны быть оценены численным или аналитическим способом.

Каждый из вышеперечисленных методов моделирования, в свою очередь, делится на три вида по материальным возможностям реализации.

Адекватность математической модели объекту считается достигнутой, если модель отражает изучаемые свойства объекта с заданной степенью точности, т.е. выполняется условие

где е( — относительная ошибка моделирования /-ой переменной состояния; 8 • тах — допустимая ошибка; Xt об, Xt м — соответственно переменные состояния объекта и модели.

Иногда для оценки адекватности удобней использовать одну из норм вектора ошибок, например модуль вектора ошибок:

При известном |етах| в зависимости от состояния среды можно найти область, в которой будет выполняться условие адекватности, эта область носит название области адекватности. В общем случае область адекватности имеет произвольную форму. На практике ее, как правило, представляют в виде гиперпараллелепипеда, грани которого задаются системой неравенств, записываемых на основании анализа физический природы объекта и погрешности средств измерений, применяемых для его контроля.

Мысленное идеально-теоретическое моделирование. К нему относится и моделирование понятия посредством терминологии, его дефиниции, т.е. то, что мы называем «термин и определение» — вербальное моделирование. Как читатель может убедиться на собственном опыте, один и тот же предмет, явление, процесс можно передать с помощью вербальных моделей различной детализации.

Мысленное аналитическое моделирование, при этом используется та или иная аппаратура, в том числе аналоги, иллюстрирующие мысленно созданные положения, а также расчеты на ЭВМ.

Материальное (реально-практическое, вещественно-агрегатное) моделирование.

Цель всех приведенных методов и видов моделирования — изучить реальный объект (оригинал) и осуществить управление объектом (прогноз его поведения при различных воздействиях) на основе данной модели, в том числе с точки зрения инжиниринга решить проектную задачу оптимальным образом.

Все методы моделирования базируются на применении некоторого вспомогательного (промежуточного) искусственного или естественного объекта — модели (свойство изоморфизма моделей), для которого характерны:

  • • объективное соответствие ряда неотъемлемых в рамках поставленной задачи черт модели и оригинала;
  • • возможность замещения оригинала на некоторых этапах исследования;
  • • возможность получения в результате проведенного на модели исследования информации об оригинале с известной заранее (контролируемой погрешностью).

Как мысленное, так и материальное моделирование может быть либо детерминированным, либо стохастическим (отражающим случайные процессы).

Моделирование во всех своих видах и формах должно осуществляться на основе математических соотношений, количественно фиксирующих условия подобия и называемых критериями подобия. В строительном инжиниринге мы имеем дело с физическим и геометрическим подобиями.

Физическое подобие явлений, процессов или ТС означает, что в сходственных точках пространства в сходственные моменты времени величины, характеризующие состояние систем, пропорциональны соответствующим величинам других систем. Примером их могут служить физические (электродинамические) модели генерирующих агрегатов и ЭЭС, установленные в Национальном исследовательском университете «Московский энергетический институт» (НИУ «МЭИ»), в ОАО «Научно-технический центр Единой энергетической системы» (бывшее название — ОАО «НИИПТ»),

Геометрическое подобие — это понятие, характеризующее наличие одинаковой формы у геометрических фигур независимо от их размеров. Оно является основой инженерной графики при выполнении конструкторской и проектной документации и более подробно будет рассмотрено ниже.

Критерии подобия и их полная классификация применительно к задачам энергетики и сопутствующих дисциплин приведены в [12]. Следует учитывать, что не во всех случаях моделирования удается найти критерии подобия. Поэтому имеет смысл говорить о критериальных или некритериальных моделях, хотя теоретически все модели должны быть критериальными. Таким образом, существуют отдельные случаи, в которых пока критерии подобия формально установить не удается, и впредь до их установления необходимо пользоваться критериями подобия в описательной форме. Приведем несколько примеров практического применения критериальных моделей при конструировании и проектировании ТС. Вообще говоря, в классическом понимании критерии подобия представляют собой безразмерные степенные комплексы, которые входят в безразмерное математическое описание рассматриваемого процесса. Таковы, например, критерии подобия в гидроаэродинамике: числа Рейнольдса, Фруда, Сгрухаля, Маха[3]. Однако мы будем рассматривать критерии несколько шире, подразумевая наличие областей их постоянства как в безразмерном виде, гак и в виде размерных величин, что характерно для конструирования некоторых машин (машинная постоянная Арнольда), в особенности в сфере технико-экономического проектирования промышленных объектов (удельные стоимости строительства, удельные площади и объемы зданий и сооружений).

Пример 4.1. При конструировании турбогенераторов[4] пользуются критериальной моделью в виде так называемой машинной постоянной. Основными размерами турбогенератора (ТГ) принято считать диаметр расточки статора D{, длину стального сердечника статора /,, зазор между статором и ротором б (все линейные размеры здесь и далее даны в миллиметрах). Эти величины определяют размеры и, следовательно, массу и габариты активных частей, а также во многом и конструктивную массу машины. Степень использования активного объема турбогенератора может характеризоваться критерием — машинной постоянной Арнольда Сд, пропорциональной объему расточки статора, приходящемуся на единицу мощности, мм3/(мин • МВ • А):

где 5Н — номинальная полная (кажущаяся) мощность ТГ, MB A; пн — номинальная частота вращения, об/мин; ку — коэффициент укорочения шага обмотки статора; А, — линейная нагрузка статора, А/см; В& — максимальная (амплитудная) магнитная индукция в зазоре, Тл.

Значение машинной постоянной Арнольда СА, полученное по формуле (4.2), в действительности сохраняется практически неизменным для турбогенераторов различной мощности одной и той же серии, выполняемых с одинаковыми или достаточно близкими диаметрами. При этом Л, и В& можно принять постоянными.

С изменением диаметра, как правило, меняются электромагнитные нагрузки, при этом мощность изменяется быстрее активного объема. Если, например, площадь пазов изменяется пропорционально диаметру в квадрате, а плотность тока остается неизменной, это приводит к изменению мощности пропорционально диаметру в третьей степени. В этом случае ближе к постоянной оказывается величина

которая называется машинной постоянной Видмара. Условие сохранения неизменной постоянной Видмара приводит к изменению линейной нагрузки пропорционально диаметру расточки статора.

В действительности линейная нагрузка может возрастать несколько медленнее, чем увеличение диаметра. Это связано в первую очередь с ограничением глубины паза, в частности по условиям прочности. На практике обычно применяют постоянную Арнольда, зависящую от мощности машины, однако при этом всегда подразумевается, что каждой конкретной мощности соответствует определенный диаметр. Поэтому целесообразно также представить машинную постоянную в зависимости от диаметра.

Значения машинной постоянной даются обычно по выполненным хорошо работающим турбогенераторам принятой серии. Следовательно, зависимость машинной постоянной в скрытой форме содержит в себе все основные параметры конструирования. При решении даже типовых задач проектирования неизбежны некоторые отклонения от уже принятых параметров выполненных машин, и, таким образом, в общем случае приведенные зависимости машинных постоянных дают только правильную ориентировку относительно основных размеров, но ни в коей мере не могут использоваться для окончательного их выбора.

По конструированию и изготовлению четырехполюсных турбогенераторов в настоящее время накоплен значительно меньший опыт, чем двухполюсных, поэтому при выборе значения машинной постоянной может быть допущена большая свобода. Достаточно плодотворным следует считать выбор машинной постоянной СА для крупных машин, примерно равной значению СА для двухполюсных машин той же мощности.

Пример 4.2. Технико-экономический критерий — экономическая плотность тока в ЛЭП*.

Общепризнанный, по крайней мере в России[5] [6], метод экономически обоснованного выбора сечения проводов и кабелей основан на показателях экономических плотности тока (ЭПТ) /эк и токовых интервалов, являющихся технико-экономическими критериями. Принятый для проектирования в 50-х годах XX в. метод выбора сечения проводов и кабелей по ЭПТ был и остается достаточно корректным при учете актуальных рыночных реалий, так как при этом принимаются во внимание основные экономические факторы. В настоящее время он регламентирован Правилами устройства электроустановок (ПУЭ) [25.7].

В критериальном виде ЭПТ имеет вид

2

где I — расчетный ток в ЛЭП, A; Fnp — площадь сечения проводника, мм ; Ен — нормативный коэффициент эффективности капитальных вложений; Аш и Ао6 — доля ежегодных отчислений на амортизацию и удельная стоимость обслуживания данного типа ЛЭП, (руб/год)/руб; b — стоимость материала проводников, руб./м; Р — передаваемая линией активная мощность, кВт; S — передаваемая кажущаяся мощность, кВ • A; cos q> — коэффициент мощности передачи; ?/ном — номинальное напряжение линии, кВ; р —

удельное сопротивление проводника, (Ом • мм )/м; т — время максимальных потерь, ч/год [121, 124]; Зэ — стоимость 1 кВт-ч потерь электроэнергии в линии в год, руб/(кВт-ч).

Пример 4.3. Приведем критериальные модели при проектировании электростанций, подстанций и ЛЭП.

В качестве технических критериев при проектировании могут использоваться удельные объемно-планировочные показатели основных зданий, сооружений и объекта в целом, рассматриваемые ниже (см. § 10.5).

Технико-экономическими критериями являются значения удельных стоимостей строительства различных типов энергообъектов, которые представлены для базовых финансово-экономических моделей в § 10.2.

При практическом применении обсуждаемых теоретических положений надо иметь в виду, что вся классификация подобия и моделирования строится исходя из постановки конкретной задачи. Например, одна и та же система (процесс, явление) или один и тот же параметр могут рассматриваться либо как линейные, либо как нелинейные в зависимости от учета факторов (переменных), а одну и ту же модель можно отнести к разным группам и видам.

На сновании классификации, наиболее распространенной в технике и приведенной в [12], возможно построение следующей структуры моделирования.

Наглядное моделирование — мысленные представления (гипотезы) в форме тех или иных воображаемых моделей, например, планетарная модель атома, макеты зданий и сооружений, планарные чертежи в проекциях и видах. Наглядное моделирование часто именуется образным или иконическим моделированием. Для нас оно представляет наибольший интерес, так как именно с этим видом моделирования в основном связана инженерная деятельность в традиционном понимании. При конструировании аппаратов, машин и механизмов в строительстве наглядное моделирование называют ещё геометрическим моделированием с включением в него таких специальных областей, как начертательная геометрия и инженерная графика, а в настоящее время и виртуальное моделирование, причем некоторые специалисты относят чертежи к образно-знаковому моделированию.

Геометрическое моделирование основано на двух видах подобия — геометрическом (или, по другим источникам, просто подобии) и аффинном.

Геометрическое подобие характеризует наличие одинаковой формы у геометрических фигур независимо от их размеров. Две фигуры Z7, и F-, называются подобными, если между их точками можно установить взаимооднозначное соответствие, при котором отношение расстояний между любыми парами соответствующих точек фигур Z7, и F-, равно одной и той же постоянной к (все линейные размеры увеличиваются или уменьшаются но осям X, Y, Z в одинаковое число раз):

Постоянная к называется коэффициентом подобия или масштабом. Углы между соответствующими линиями подобных фигур равны. Отношение площадей ограниченных подобных фигур равно коэффициенту подобия в квадрате, а отношение объёмов — коэффициенту в кубе.

Геометрическое преобразование плоскости (или пространства), при котором все фигуры этой плоскости переходят в подобные им с одним и тем же коэффициентом подобия, называется подобным преобразованием. Примером геометрического подобия (преобразования подобия) служат строительные и машиностроительные чертежи.

Преобразование подобия используются при переходе от одной декартовой системы координат к другой (от натуры — к модели, чертежу и наоборот), от одной изоморфной модели к другой. Чтобы задать данное преобразование, достаточно выбрать в качестве опорных точек любые две точки плоскости и указать старые и новые координаты этих точек. Удобно принять в качестве опорных точек начало координат и какую-либо точку, лежащую на оси X или Y. Такое преобразование каждый проектировщик постоянно выполняет в системах автоматизированного проектирования (например, в системе AutoCAD® 2013).

Подобное преобразование является частным случаем аффинного преобразования, которое называют также линейным. Это преобразование, с помощью которого всегда одни прямые линии переводят в другие, при этом параллельные прямые остаются параллельными. Коэффициенты подобия (или масштабы по координатным осям), здесь разные:

Углы между пересекающимися прямыми могут изменяться или оставаться прежними. Можно отметить также, что произвольное аффинное преобразование используется для перевода заданного квадрата в любой заданный параллелограмм, в то время как преобразование подобия переводит квадрат в любой другой заданный квадрат.

Аффинное подобие может иметь место при выполнении эскизов, ситуационных схем генеральных планов, когда можно не выдерживать строго размеры объектов.

Каждая модель строится в своей модельной системе координат. Коэффициенты подобия — это не что иное как правила преобразования координат и перехода из одной системы в другую: из модельной в модельную, из модельной в реальную (при строительстве объекта — в геодезическую систему координат [7]).

Символическое (знаковое) моделирование представляет собой упорядоченные записи знаков. К нему относятся географические карты, изображения химических соединений в виде традиционно используемых в химии символов и т.д. Кстати, любая географическая карга представляет собой нелинейное подобие участков земного шара, а схемы генерального плана участков, которые можно считать плоскими, — геометрическое подобие или в случае эскизного моделирования аффинное подобие.

Математическое мысленное моделирование подкрепляет абстрактное мышление привычными образами. В качестве примера здесь можно назвать хорошо знакомые специалисгам-электрикам схемы замещения различных статических и динамических элементов электрических систем (линий электропередачи, трансформаторов, генераторов и др.). Они наглядно отражают связь уравнений с простейшими физическими понятиями, такими как идеальные ЛЭП, идеальные трансформаторы, реакторы и др. Математическое моделирование основано на понятиях изоморфизма и гомоморфизма. Математическими моделями являются числовые и геометрические векторы, матрицы, тензоры, числовые поля.

К математическим мысленным моделям относят алгоритмы и программы, составленные для ЭВМ. При этом динамические процессы в электроэнергетических, в тепловых, гидравлических и механических системах моделируются в виде дифференциальных уравнений, а статические (установившиеся) режимы — в виде алгебраических уравнений. Примером описываемого моделирования служат также и экономические модели.

Дифференциальные и алгебраические уравнения процессов записываются в общем виде с помощью векторов зависимых Y и независимых X переменных, представляющих собой параметры режима:

Однако их коэффициенты Л являются модельными параметрами геометрической структуры той ТС, в которой эти процессы происходят, а также параметрами физического состояния элементов этой структуры (механическое качество поверхностей, электрическая проводимость, теплопроводность и т.п.).

Если коэффициенты не зависят от параметров режима в краткосрочном цикле управления, то речь идет о линейности модели в отношении структуры и состояния. Если же коэффициенты зависят от параметров режима, проявляются свойства нелинейности, которые являются вредными для ТС, если только эти свойства не положены в основу целевых технологий или технологий защит и управления.

Если наблюдается зависимость параметров состояния и соответственно коэффициентов уравнений от параметров режима в течение достаточно длительного периода времени, то речь идет уже о деградации (старении, износе, усталости) элементов структуры, что является предметом изучения теории надежности ТС [48, 49].

Таким образом, для всех ТС имеет место взаимное соответствие:

Практика инженерных расчетов (в том числе теплотехнических, механических, электрических) показывает, что в составе класса математических моделей объекта целесообразно выделить подкласс информационно-математических моделей, которые наиболее наглядно отражают интеллектуальные свойства элементов ЭЭС.

Действительно, результат моделирования — информация, полученная путем расчетов — может иметь ценность только при корректности исходных параметров модели, а последние почти всегда собираются (подбираются, измеряются) разными способами, с разной степенью достоверности (точности). К примеру, для получения нужных параметров режима на одном из концов ЛЭП при её математическом моделировании в виде П-образной схемы замещения и уравнений законов Ома и Кирхгофа используются несколько вариантов исходной информации:

  • • модуль тока, модуль напряжения и угол между соответствующими векторами;
  • • модуль напряжения, активная и реактивная мощности;
  • • модули напряжения на концах ЛЭП и взаимный угол между ними и т.п.

Кроме того, при отсутствии измерений для данной задачи в зависимости

от условий можно принять в качестве исходных данных результат оценки параметра (номинальное, среднее рабочее напряжения, постоянную активную мощность). Поэтому происходит как бы «наложение» доступного информационного пространства на одну и ту же математическую модель, отсюда и термин «информационно-математическое моделирование».

Натурное моделирование. Представляет собой исследование действительной системы (явления, процесса) при специально подобранных условиях, иными словами, производственный эксперимент. Всем известный пример такого моделирования — натурные эксперименты в электрических системах (системные испытания) по определению пределов устойчивости, влияния того или иного фактора на режимные параметры и др.

Физическое моделирование проводится на установках, обладающих физическим подобием и, следовательно, сохраняющих полностью или частично природу явления (процесса). Результатом такого моделирования являются, например, физические пространственные модели, позволяющие изучать установившиеся электромагнитные поля в электрических машинах.

Аналого-цифровое моделирование иногда называется также математическим моделированием. При гаком виде моделирования физические свойства исследуемого процесса (явления) не сохраняются. Оно основано на изоморфизме уравнений и подразделяется на четыре подгруппы:

  • 1) аналоговое моделирование, где используется прямая аналогия между величинами, присущими одному явлению, и формально такими же величинами, входящими в уравнения, описывающие другое явление. Примером может служить моделирование на аналоговых вычислительных машинах, которое в настоящее время в энергетике практически не используется;
  • 2) цифровое моделирование, основывающееся на элементах, производящих дискретные математические операции. Базой данных моделей являются ЭВМ;
  • 3) гибридное (аналого-цифровое) моделирование, представляющее собой сочетание цифровых и аналоговых моделей;
  • 4) функциональное (кибернетическое) моделирование, при котором стремятся раскрыть структуру явления, исследуя отдельные функции. При этом в моделях объекты отражаются главным образом исходя из информационных процессов и процессов управления.

Связь между функциональным и физическим моделированием можно пояснить с помощью рис. 4.1. Процессы, протекающие в объектах, описываются сходными уравнениями:

колебания маятника

колебание тока в цепи

Пример функционального моделирования колебаний физического маятника где т — масса материальной точки; / — длина нити; А — амплитуда колебаний маятника;
; г — коэффициент трения; к —

Рис. 4.1. Пример функционального моделирования колебаний физического маятника где т — масса материальной точки; / — длина нити; А — амплитуда колебаний маятника; ; г — коэффициент трения; к

коэффициент упругости нити; /тах — амплитуда тока в цепи;

; R — сопротивление; L — индуктивность; С — емкость; Ry

успокоительное сопротивление, закорачивающее обкладки конденсатора в электрической цепи.

Если оригинал — маятник, а колебательный контур — его модель, то эта модель носит название формальной. Если свойства одного колебательного контура, например высокочастотного, изучаются с помощью колебательного контура с более низкой частотой, то это его физическая модель. Под физической моделью будем понимать модель, физически однородную с оригиналом.

Пример функционального и физического моделирования (иногда их объединяют термином «аналогия»), приведенный на рис. 4.1, демонстрирует единство природы. Благодаря единству уравнений динамики и стационарных режимов механических и электрических систем становится возможной замена исследования явлений в механических цепях изучением их электрических аналогов — электрических цепей. При этом так называемыми электромеханическими аналогами[8] являются:

  • • сила (или вращающий момент) — напряжение;
  • • перемещение линейное (угловое) — заряд;
  • • скорость линейная (угловая) — ток;
  • • масса (момент инерции) — индуктивность;
  • • податливость при поступательном движении или кручении — емкость;
  • • коэффициент трения при поступательном движении или вращении — сопротивление;
  • • кинетическая энергия — магнитная энергия;
  • • потенциальная энергия — электрическая энергия;
  • • мощность от трения — мощность в сопротивлении;
  • • механическая мощность — электрическая мгновенная мощность.

Рассматривая кибернетическое моделирование и обрабатывая результаты физического моделирования, а также решая ряд задач, связанных с использованием результатов измерений, часто приходится иметь дело не с детерминированными, а со случайными числами. Тогда говорят, что модели имеют статистические (стохастические) свойства, а кибернетическое моделирование называют часто статистическим.

Отнесение того или иного результата к категории случайных чисел или процессов означает, что он записывается и понимается в терминологии теории вероятностей, предусматривающей наличие данных о законе распределения соответствующей случайной величины. Результат может иметь вид функции распределения, плотности распределения или в случае неполных знаний — точечных оценок этих функций в виде математического ожидания (среднего значения) и дисперсии [15, 16].

Однако следует предостеречь от бездумного применения статистических методов, особенно популярных в практике обеспечения надежности технических систем. Область статистики — совокупность влияющих закономерностей, вклад каждой из которых в поведение системы незначителен, а выявление аналитического закона ее движения (в виде детерминированных моделей) либо технически неосуществимо, либо экономически нецелесообразно. Статистика базируется на правильно подобранном[9] и интерпретированном материале, причем объекты исследования должны быть однородны, «похожи друг на друга» в смысле выделения моделируемых свойств. Но это возможно, только если у исследователя есть достаточное число устройств, которые идентичны в вышеуказанном смысле не только по конструкции при выпуске с производства (монтажа), но и в динамике их жизненного цикла.

Чем сложнее техническая система, чем длительнее её жизненный цикл на момент получения материала для статистических исследований, тем больше она расходится со своими аналогами, становясь, по сути, уникальной. Поэтому следует очень тщательно изучить «степень уникальности» системы, прежде чем использовать её данные для статистического моделирования группы аналогов. Данная задача отнюдь не тривиальна, и ее решение требует значительных средств и усилий специалистов самых разных профилей.

Примером некорректности вероятностных подходов к описанию жизненного цикла ТС в энергетике могут служить постоянные попытки применить статистические данные к так называемым ремонтам по техническому состоянию энергоблоков в целом или к их сложным подсистемам — турбогенераторам, паровым турбинам, их цилиндрам разных давлений, конденсаторам, системам регулирования и т.п., основываясь на фактах отказов в отраслевой статистической отчетности (чем занимается уже долгое время фирма ОРГРЭС).

На взгляд автора, такой подход — результат попыток упрощения процессов эксплуатации оборудования, искусственный инструмент, являющийся «красивым» ответом на «заказ» менеджмента об уменьшении затрат на ремонты. Вообще говоря, любая статистическая модель легка в построении, «красива» и безопасна для её создателя в том смысле, что если предсказанное событие не произойдет, то всегда можно сослаться на вероятность — попали в область дисперсии (прогнозируемой неопределенности). Но это уже не имеет отношения к инжинирингу, который рассматривается в данной книге.

  • [1] В «Большой советской энциклопедии» дается следующее определение: «Теория познания,гносеология, эпистемология — раздел философии, в котором изучаются проблемы природы познания и его возможностей, отношения знания к реальности, исследуются всеобщие предпосылки познания, выявляются условия его достоверности и истинности. В отличие от психологии, физиологиивысшей нервной деятельности и других наук, т. п. как философская дисциплина анализируетне индивидуальные, функционирующие в психике механизмы, позволяющие тому или иному субъектуприйти к определённому познавательному результату, а всеобщие основания, дающие возможностьрассматривать этот результат как знание, выражающее реальное, истинное положение вещей». См.также: Ильин В.В. Теория познания. Введение. Общие проблемы. — 2-е изд. М.: Либроком, 2010.
  • [2] Можно, в частности, представлять математические объекты некоторыми множествами действительных чисел (аналитическая геометрия, матричное и тензорное представления).
  • [3] Яворский Б.М., Детлаф А.А., Лебедев А.К. Справочник по физике для инженеров и студентоввызов. — 8-е изд., перераб. и испр. М.: ООО «Издательство “Оникс”»: ООО «Издательство “Мир иобразование”», 2006.
  • [4] Хуторецкий Г.М., Токов М.И., Толвинская Е.В. Проектирование турбогенераторов. — Л.:Энергоатомиздат., 1987.
  • [5] ’ Электрические системы. Электрические сети / под ред. В.А. Веникова. В.А. Строева. М.:Высшая школа, 1998.
  • [6] В компании Electricite de France в качестве критерия для выбора сечения проводов и кабелейЛЭП используется экономическое полное сопротивление линии (Пелисье Рене. Энергетическиесистемы: пер. с франц. М.: Высшая школа, 1982.).
  • [7] Система координат, в которой положение объекта описывается геодезическими широтой и долготой. а в трехмерном пространстве еще и геодезической высотой (ГОСТ Р 52572—2006).
  • [8] Атабеков Г.И. Теория цепей: учебник для вузов. М.: Энергия, 1969.
  • [9] То. что называется «генеральной совокупностью».
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >