Вывод уравнении для частотной зависимости внутреннего трения

При вынужденных циклических колебаниях напряжение и деформация меняются как o(r) = o0cos((oO и e(r) = e0cos(co/ - (р), где ср - угол потерь (рис. 3.6, а).

Вынужденные колебания

Рис. 3.6. Вынужденные колебания: зависимость напряжения и деформации от времени (а); векторная диаграмма, показывающая соотношение между напряжением, деформацией, комплексной податливостью и ее компонентами (б)

В комплексной форме: a(t) = о0 е'ю', а е(г) = г0 е'(<0,_<|>) = (г, + е 2) е“0', где в| - амплитуда компоненты е, находящейся в фазе с о; е2 - компоненты 8, отстающей на 90°. Выражение для комплексной податливости (У*(ш) = е/о) можно записать так: /*(со) = J|(со)- /УгСю), где J1 = 8|/о(> = JR - (йТаЛ- действительная часть, У2 - 82/00 = (У, -JuYота мнимая часть (рис. 3.6, б). Тангенс угла потерь, или внутреннее трение, определяется как tg(p = Ji / J = Q '.

Частотная зависимость мнимой и действительной частей податливости имеет следующий вид:

Графики этих зависимостей приведены на рис. 3.7.

Учитывая, что J = 1 /М, аналогичные зависимости можно записать для модуля:

Рис. 3.7. Зависимости действительной и мнимой компонент податливости./ от шт

Получим выражения для внутреннего трения и модуля упругости в следующем виде:

Соотношение между временем релаксации и временем ретардации имеет вид

Справедливо полагая, что для металлических материалов Д«1, то есть т„ = тг., вводя понятие среднегеометрического времени релаксации и обозначая его как т, выражения (3.16) можно

упростить до окончательного вида:

Графики этих зависимостей приведены на рис. 3.1, на котором вместо обобщенного модуля М использован модуль нормальной упругости Е.

Любую функцию частоты, которая изменяется как шт/( 1 + (сот)2), называют дебаевским пиком. Дебаевский пик формируется в результате протекания релаксационных процессов в стандартном неупругом твердом теле с экспоненциальной функцией релаксации. Если релаксационная функция имеет вид растянутой экспоненты, рассеяние энергии в материале не описывается уравнением Дебая.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >