Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Техника arrow Внутреннее трение и механическая спектроскопия металлических материалов

1. УПРУГОСТЬ ТВЕРДЫХ ТЕЛ И НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ ТЕЛА В ТОЧКЕ

Исследуя в соответствии с требованиями эпохи часовые пружины, член Лондонского королевского общества Р. Гук [1] оформил свои заявки на приоритет в работе «Десяток изобретений, которые я намерен опубликовать», вышедшей в 1676 г. Среди других там была «Истинная теория упругости и жесткости». Под этим заголовком стояла лишь анаграмма ceiiinossttuu, которую можно было понимать как угодно. Понятие авторского права только зарождалось в то время, поэтому приходилось искать нуги его доказательства. Лишь двумя годами позже в трактате «De potentia restitutiva» («О восстанавливающей силе», 1678), содержащем описание опытов над пружинами и деревянными брусками Гук расшифровал эту анаграмму латинской фразой «Ut tensio sic vis» («Каково удлинение, такова и сила»). Это утверждение известно нам как закон Гука. Закон Гука в элементарной современной формулировке звучит гак: «сила упругости прямо пропорциональна деформации». В настоящее время закон Гука в обобщенном виде служит основанием математической теории упругости.

Для тонкого растяжимого стержня закон Гука имеет вид

где F - сила натяжения стержня; А) - его удлинение или сжатие; к - коэффициент упругости (или жесткость).

Минус в уравнении указывает на то, что сила натяжения направлена в сторону, противоположную деформации. Коэффициент упругости зависит как от свойств материала, так и от размеров (длины I и поперечного сечения S) стержня: к = E-1/S. Величина Е называется модулем Юнга2 и зависит только от свойств тела (от силы связей между атомами в решетке).

Если обозначить относительное удлинение как е = Al/l и нормальное напряжение в поперечном сечении как о = F/S (термин «напряжение» был введен Анри Навье в 1826 г., то есть спустя 148 лет после Р. Гука), то закон Гука запишется в виде

или, через истинную деформацию (е = 1п(/„//о)) и напряжение (S), в виде

где Iо, /„ - соответственно начальная и конечная длина образца.

Закон Гука применим не только для описания материала в состоянии растяжения, но также и кручения, всестороннего сжатия и при более сложных схемах напряженного состояния.

Для изотропного тела (массивный поликристалл) соотношения между четырьмя константами упругости имеют следующий вид: E = 2G(l + v) и Е = З.К(1 - 2v), где Е- модуль нормальной упругости, или модуль Юнга; G - модуль сдвига; К - объемный модуль; v - коэффициент Пуассона[2]. Количественная связь между поперечной и продольной деформациями была исследована Пуассоном. Коэффициент Пуассона, как и модуль упругости, отражает особенности атомных взаимодействий. Если известны любые две из этих четырех констант, оставшиеся две могут быть получены по приведенным выше уравнениям.

В обобщенной форме закон Гука устанавливает линейную зависимость между напряжениями и деформациями в любых направлениях:

Для изотропного тела закон Гука устанавливает взаимосвязь между напряженным и деформированным состояниями. Для определения тензора деформаций при заданном тензоре напряжений необходимо знать две константы упругости.

Для анизотропного тела (монокристаллы, текстурованные материалы и др.) закон Гука устанавливает линейную связь между каждым компонентом тензора деформаций и шестью компонентами тензора напряжений с учетом кристаллографической симметрии решетки. Для любой точки тела, связанной системой прямоугольных координат (рис. 1.1, а), и для произвольной площадки, наклоненной к координатным осям и имеющей направляющие косинусы нормали v - /, т, п (рис. 1.1, б), напряженное состояние полностью определяется тензором напряжений:

Обозначения компонентов напряжений по граням бесконечно малого параллелепипеда (а) и на наклоненной площадке (б), вырезанных для любой точки упругого тела

Рис. 1.1. Обозначения компонентов напряжений по граням бесконечно малого параллелепипеда (а) и на наклоненной площадке (б), вырезанных для любой точки упругого тела

Матрица тензора напряжений включает 9 скалярных величин напряжений, из которых 3 - нормальные напряжения ох, оу и о2, образующие главную диагональ матрицы, и 6 - касательные напряжения, симметричные относительно главной диагонали, тху = тух, тх2 = т,

= Таким образом, из 9 компонент тензора напряжений достаточно иметь 6: нормальные ох, оу, о2 и касательные тху, тх2, ту2.

При любом напряженном состоянии тела через любую точку можно провести по три взаимно перпендикулярных площадки, на которых касательные напряжения равны нулю. Такие площадки называют главными, а нормальные напряжения - главными напряжениями. Напряжение с„ = (0] + 02 + 0з)/3 называют средним гидростатическим напряжением. Главные касательные напряжения действуют в плоскости под углом 45° к главным нормальным площадкам: 1 - (02 - 0з)/2, Х2 = (0i - 0з)/2, Хз = (01 - 0г)/2 при условии, что

01 > 02 > 03-

При всестороннем растяжении или сжатии, когда 0i = 02 = 0з = = 0П, изменение объема происходит без изменения формы. Такое напряженное состояние называется гидростатическим и описывается шаровым тензором. При более сложных видах напряженного состояния полный тензор напряжений учитывает одновременно изменение формы и объема тела. Изменение формы тела описывается де- виатором напряжений, который представляет собой разность между полным и шаровым тензором:

Пусть точка тела, связанная с системой прямоугольных координат, принадлежит элементарному параллелепипеду с размером ребер в начальном состоянии dx, dy, dz. В деформированном состоянии положение точек тела - форма и размер параллелепипеда - изменяется (рис. 1.2). Деформацию в точке тела можно описать через относительные удлинения ребер ех, еу, е2, определяющие изменение объема, и относительные сдвиги уху, ух2, уух, уу2, у, у, определяющие изменение формы параллелепипеда.

Обозначение компонент деформаций (а) и взаимность сдвигов (б)

Рис. 1.2. Обозначение компонент деформаций (а) и взаимность сдвигов (б)

Полное представление о деформированном состоянии тела в точке можно записать в виде тензора деформаций, имеющего структуру, аналогичную структуре тензора напряжений:

Тензор деформаций в главных площадках имеет вид

Компоненты шарового тензора деформаций, выраженные через среднюю деформацию ?„ = (ех + ?у + ег)/3 (гидростатическая деформация), отражают смысл всестороннего растяжения и полное изменение объема. На долю девиагора деформаций остается деформация изменения формы. Таким образом, деформированное состояние в точке изотропного тела также описывается шестью независимыми компонентами, и общий вид тензора деформаций имеет вид

Для главных площадок деформация, возникающая вследствие приложения напряжения Сц, составит 01Е. Ог действия другого главного напряжения сь деформация уменьшится на величину V(сфЕ) и от a.i - на величину г(афЕ). По аналогии легко представить, что деформации по главным направлениям будут составлять:

Сходство в структуре тензоров напряжений и деформаций позволяет записать закон Гука в общей форме с помощью шести компонент напряжений и деформаций:

Уравнения (1.7) содержат 36 коэффициентов су, называемых упругими константами. С учетом симметрии осей кристалла выполняется правило Онзагера - равенство упругих констант с обратными индексами: стп = спт, а число констант сокращается до 21. Если для кубической решетки координатную систему расположить по направлению ребер куба, то вследствие высокой симметрии решетки матрица упругих констант упрощается, так как сц = С22 = С33, С12 = С23 = сзь С44 = С55 = Сбб, а остальные постоянные равны нулю. Матрица упругих постоянных для металлов с кубической решеткой содержит только три независимых постоянных упругости, для металлов с ГПУ решеткой - пять независимых постоянных упругости:

Некоторые постоянные упругости и их комбинации имеют конкретный физический смысл:

  • - коэффициент упругости С44 для кубической решетки характеризует сопротивление касательному напряжению, приложенному в плоскости грани куба в направлении его ребра (простой сдвиг):
  • - c44YxyJ
  • - комбинация коэффициентов (сц - сц) / 2 характеризует сопротивление касательному напряжению, приложенному в плоскости (110) в направлении [1 1 1] (при приложении касательных напряжений в плоскости, наклоненной под углом 45е к оси куба);
  • - фактор анизотропии для уируго-анизогронных тел определяет отношение 2сц1 (сц - сц) (для изотропных тел 2С44/ (сц - С12) = 1);
  • - модуль объемной деформации характеризует сопротивление материала гидростатическому давлению и представляет собой комбинацию упругих постоянных (сц + 2С12) / 3.

Типичные значения констант упругости для некоторых металлов приведены в табл. 1.1.

Таблица 1.1

Константы упругости некоторых металлов (х 103 кге/ мм2)

Кубическая

система

С11

сп

<44

2С44

Си 12

А1

10,82

6,23

2,85

1,2

Fe

28,7

14,1

11,6

2,4

Гексагональная

система

с

t‘13

С’зз

С'44

Со

30,7

16,5

10,3

35,81

7,53

Практически сразу же после открытия Гуком закона пропорциональности между приложенной силой и возникающим изменением размеров было показано, что этот закон является всего лишь приближенным описанием реальности. Нелинейность связи между приложенным напряжением и деформацией есть результат неупругого поведения материалов под нагрузкой даже при очень небольших деформациях. Необратимое смещение хотя бы одного атома под действием приложенного напряжения приведет к необратимому рассеянию энергии в твердом теле и, таким образом, к отклонению от законов упругости. Проблема анализа реального поведения твердых тел иод нагрузкой в так называемой квазиупругой области нагружения может рассматриваться с двух точек зрения:

  • 1) насколько эти отклонения от идеально упругого поведения материалов существенны для практического применения;
  • 2) каковы физические механизмы, приводящие к неупругому поведению материалов.

Для того чтобы ответить на эти вопросы, необходимо прежде всего определить само понятие неуиругости и обосновать методы ее определения.

  • [1] Роберт Гук (Robert Hooke, 1635-1703) - английский естествоиспытатель, ученый-энциклопедист. Гука можно назвать одним из отцов экспериментальной физики, но и во многих других науках ему принадлежат пионерские основополагающиеработы и множество открытий. 1 Томас Юнг (Thomas Y oung, 1773-1829) - английский физик, врач, астроном ивостоковед, один из создателей волновой теории света.
  • [2] Симеон Дени Пуассон (Simeon Denis Poisson, 1781-1840) - французский физики математик. Установил количественную связь между поперечной и продольнойдеформациями.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >
 

Популярные страницы