Проверка гипотезы о параметрах нормального распределения

Проверка гипотезы о значении среднего

Проверяется нулевая гипотеза H_Q: ц = |Д₀ против альтернативы H_Q: ц = щ (ц₀ < щ).

т-т 2 2 2 2 2

Полагается, что дисперсии Oj и а₂ известны заранее, причем C7j = СУ₂ = Q .

Введем обозначения

л °² 1 Р IWo D ^q2 1 Bi + Bo

A =-----In—— + /7———; B =-----In - + 77———.

щ — !lx₀ 1-a 2 Bi ^_Bo ^a 2

Если:

< A, то принимается гипотеза H_o;

/=1

Уд> В. то принимается гипотеза Н_х;

/=1

^а<2л < В, то наблюдения продолжаются.

/=1

Средние объемы выборок, необходимые для завершения процедуры последовательного анализа, равны

(l-a)lnl—Д + ain-^- _ (1-Р)1_пЕ1Р + pi_nJL

и(ц₀) = 2о²------—-—з-----; и(ц,) = 2й-- ^1-а ;

(Щ-Оо) (Hi-Oo)
1 ? I

In In—-

Итак = -О²------Г²— .

(Hi-Но)

Здесь «шах - максимальное среднее значение числа наблюдений, необходимое для

окончания последовательной процедуры проверки гипотезы.

Параметр с распределения Вальда находится по формуле

I 1п In----, если В = Во> ^a в

.. Bo + Bi

^Ц 2

, где К = <

В1“Во

In—

ос

Пример 5.2. Предположим, что параметр прибора распределен нормально со стандартным отклонением а = 200. Необходимо проверить при а = 0,1 и р = 0,01 гипотезу о том, что параметр прибора равен ц = ц₀ = 1800, против альтернативы 11 = ^= 2000.

Найти контрольные границы и средние объемы выборок для последовательной проверки гипотезы. Определить объем выборки 22_{0 95} , для которого с вероятностью не менее 0,95

процедура последовательного анализа закончится принятием решения по гипотезе. Решение. Находим

200^[1] . 0,01 2000 + 1800 _{ооп oz: 1опп}
— + п----т----= -899,96 +1900 • п;

Л =-------In

2
2000 + 1800 _{с 1ППЛ}= 458,5 +1900 • п.
2000-1800 0,9

„ 200^[2] 1 ^[3] ^[4] ^[5] ^[6] {{

[1] /70 95 Из таблицы Wc(x) (см. табл. 10 в приложении) находим для с = 1,1462 значение х = — , п
[2] 2000-1800 0,1 2 Далее вычисляем средние объемы выборок Л П 1 0>9 А 1 1 °Л 0.9 • In + 0,1 • In — - 7 0 01 0 99 п(1800) = 2 • 2001-------= 8 . (2000-1800)1 0.011n^ + 0.991n^ - ? 09 01 «(2000) = 2 • 2001--------= 5; (2000-1800)1 , 0,01 , 0,99 In--In----- 7 0 9 0 1 «max = -2001---= 10. (2000-1800)1 0.99 Так как р ос, то К = In ^ ^ = 2,2925. Вычисляем параметр с для гипотезы Нх : 2000-^±1800
[3] соответствующее условию ^с(х) = 0,95. Путем интерполяции получим л: = 2,845. Тогда
[4] для гипотезы Нх получим: nQ 95 = 2,845 • я(2000) = 2,845 • 5 = 15. Таким образом, с вероятностью 0,95 для принятия решения по гипотезе потребуется не более 15 испытаний. п
[5] Итак, принимаем гипотезу /70, если 458,5 + 1900-22. В любом ином случае испытания необходимо продолжить. /=1
[6] При /70 в среднем понадобится 8 испытаний, а при Нх - 5 испытаний. Максимальное среднее число испытаний не превысит Ю.к