Критерии нормальности распределения
Нормальный закон распределения вероятностей получил наибольшее распространение в практических задачах обработки экспериментальных данных. Большинство прикладных методов математической статистики исходит из предположения нормальности распределения вероятностей изучаемых случайных величин.
Широкое распространение этого распределения вызвало необходимость разработки специальных критериев согласия эмпирических распределений с нормальным законом. Рассмотрим два критерия.
Модифицированный критерий ??
Пусть дана выборка х19х29...9хп данных из распределения F(x). После оценки _ | И И Я _
параметров х = -2Х5= — ^(х — х)2 распределения совокупность выборочных
1
данных разбивается на т равновероятных интервалов (pt = — = const) и статистика т
критерия подсчитывается по формуле
2 V1 2
х =—Хл ~п> П м
где п - объем выборки; nj - количество членов выборки, попавшие в i -й интервал.
Границы интервалов определяются как
at=x + cts (i = QA9...9m).
Значения коэффициентов приведены в табл. 4.3. Следует отметить, С0=-00 ИС„,=ОО. Так как с; симметричны относительно нуля, то недостающие значения с; можно найти из соотношений
. т-1
с. = — с. . (/ = 1..... ) - для нечетных т;
- 1(„,_1)+, 1(,2
- 2 2
С| С] , —m+i -m-i
- 2 2
- (z = 1,...,------) - для четных т.
Таблица 4.3. Значения коэффициентов Ct модифицированного %2 -критерия нормальности для т € [3; 15]
|
т сх |
С2 |
сз |
с4 с5 |
С7 |
|
|
0 -0,2533 |
|
6 |
-0,9074 |
-0,4307 |
0 |
|||
|
7 |
-1,0676 |
-0,5659 |
-0,1800 |
|||
|
8 |
-1,1503 |
-0,6745 |
-0,3180 |
0 |
||
|
9 |
-1, 2206 |
-0,7647 |
-0,4307 |
-0,1397 |
||
|
10 |
-1,2816 |
-0,8416 |
-0,5244 |
-0,2533 0 |
||
|
11 |
-1,3352 |
-0,9085 |
-0,6040 |
-0,3488 -0,1142 |
||
|
12 |
-1,3830 |
-0,9674 |
-0,6745 |
-0,4307 -0,2194 |
0 |
|
|
13 |
-1,4201 |
-1,0201 |
-0,7303 |
-0,5024 -0,2934 |
-0,0966 |
|
|
14 |
-1,4652 |
-1,0676 |
-0,7916 |
-0,5660 -0,3661 |
-0,1800 |
0 |
|
15 |
-1,5011 |
-1,1108 |
-0,8416 |
-0,6229 -0,4307 |
-0,2533 |
-0,0837 |
Если /2>б/ш(ос), где dm(Qk) - критическое значение статистики критерия на уровне значимости а, то гипотеза нормальности отклоняется. Критические значения б/Дос) приведены в табл. 4.4
Таблица 4.4. Критические значения б/ш(ос) модифицированного / -критерия нормальности
|
т |
ос |
т |
а |
||||
|
0,10 |
0,05 |
0,01 |
0,10 |
0,05 |
0,01 |
||
|
3 |
2,371 |
3,248 |
5,418 |
10 |
12,384 |
14,438 |
18,852 |
|
4 |
3,928 |
5,107 |
7,917 |
11 |
13,694 |
15,843 |
20,431 |
|
5 |
5,442 |
6,844 |
10,075 |
12 |
14,988 |
17,226 |
21,977 |
|
6 |
6,905 |
8,479 |
12,021 |
13 |
16,267 |
19,589 |
23,495 |
|
7 |
8,322 |
10,038 |
13,837 |
14 |
17,535 |
19,937 |
24,990 |
|
8 |
9,703 |
11,543 |
15,567 |
15 |
18,792 |
21,270 |
26,464 |
|
9 |
11,055 |
13,007 |
17,234 |
||||
Критерий типа Колмогорова – Смирнова
Рассмотрим применение критерия Колмогорова-Смирнова (см. раздел 4.2.2) для проверки нормальности распределения в ситуации, когда оба его параметра оцениваются по выборке. Алгоритм проверки нулевой гипотезы Но для этого случая сохраняется. При этом используется модифицированная статистика
D" = D
и п
х/я-0.01
! 0,85"
)
Критические значения Z)"(oc) (а - уровень значимости) приведены в табл. 4.5
Таблица 4.5. Критические значения статистики Колмогорова - Смирнова, модифицированной для проверки нормальности распределения
|
а |
0,15 |
0,10 |
0,05 |
0,03 |
0,01 |
|
0,775 |
0,819 |
0,895 |
0,955 |
1,035 |
Применим критерий согласия w2 (см. раздел 4.2.2) для задачи проверки гипотезы нормальности распределения вероятностей случайных величин. Алгоритм вычисления статистики критерия в этом случае не меняется — меняются только критические значения статистики проверки гипотезы. Для различных ситуаций, когда параметры гипотетического распределения оцениваются непосредственно по самой выборке, критические значения статистики И’2 приведены в табл. 4.6.
Таблица 4.6. Критические значения статистики и;2 для проверки нормальности распределения (1 — а - уровень значимости)
|
Исходные условия |
а |
||||
|
0,90 |
0,95 |
0,99 |
0,995 |
0,999 |
|
|
Параметры (ц и а) известны заранее |
0,3473 |
0,4614 |
0,7435 |
0,8694 |
1,1679 |
|
Параметр су известен, а параметр ц оценивается по выборке — 1 " Х=~ХХ- |
0,1344 |
0,1653 |
0,2380 |
0,2698 |
0,3443 |
|
Параметр ц известен, а параметр СУ оценивается по выборке s=J-X(x--x) |
0,2370 |
0,4418 |
0,7245 |
0,8506 |
1,1490 |
|
Параметры (ц и су) оцениваются по выборке |
0,1035 |
0,1260 |
0,1788 |
0,2018 |
0,2559 |
