• 1 2
• (a) = <—In----

" [2 1-aJ

Если D_n > Z)_zz(a), то гипотеза согласия H_Q отклоняется на уровне значимости a .

При п > 20 полезна аппроксимация

• 1. 1
• (a) = <—In
• 2 1 -a

распределение которой описывается распределением /² с v = 2 степенями свободы. При п > 10 необходимо использовать более точное приближение

где у — —Ina для a) и у = —ln(a/2) для Z)_w, при 0,01

Стефенс предложил следующие преобразования статистик , D_n

n Э7ч 0,04 п + 0,275--

— для нижней процентной точки;

ri + 0,12-1

— для верхней процентной точки;

+(-)

n

Критические значения статистик Стефенса приведены в табл. 4.1.

74 ~+(^—)

Таблица 4.1. Процентные точки статистик Dn и Dn

Критерий Колмогорова-Смирнова применяется при п > 50.

Критерий Крамера-фон Мизеса

Статистика критерия имеет вид где F(x) - теоретическая функция распределения.

Необходимо помнить, что теоретическая функция распределения должна быть известна с точностью до параметров. Распространенная ошибка — использование в качестве F(x) функции распределения с параметрами, оцениваемыми по выборке приводит к уменьшению величины критического значения статистики, т.е. к увеличению количества ошибок второго рода.

При объеме выборки п > 40 можно использовать приведенные в табл. 2 квантили

2 ,

распределения w , которые следуют из его предельного распределения (а- уровень значимости, принятый для проверки Н_о).

Таблица 4.2. Квантили распределения vr²

При п < 40 можно использовать аппроксимацию

z 2V Г 2 0-4 0,бЛ 4 П

(w²) = w²—- + -у- • 1 + - ? у п п J у п)

Критерий Колмогорова

Критерий Колмогорова для простой гипотезы является наиболее простым критерием проверки гипотезы о виде закона распределения Он связывает эмпирическую функцию распределения F_n (х) с функцией распределения F(x) непрерывной случайной величины X

Пусть •X- I «X- 2 • • •’X' - конкретная выборка из распределения с неизвестной непрерывной функцией распределения F(x) и F_n (х) - эмпирическая функция распределения. Выдвигается простая гипотеза H_Q :

F(x) = F_q(x) (альтернативная Н_} : F(x) # F_Q(x).x G R ).

Сущность критерия Колмогорова состоит в том, что вводят в рассмотрение функцию

D = max F„ (х) — F_o (x), называемой статистикой Колмогорова, представляющей *, .

собой максимальное отклонение эмпирической функции распределения (х) от гипотетической (т.е. соответствующей теоретической) функции распределения F₀(x).

Колмогоров доказал, что при /? —> оо закон распределения случайной величины y[ri'D_n независимо от вида распределения СВ X стремится к закону распределения Колмогорова:

А-=-оо

где F(x) - функция распределения Колмогорова. Найдем порог D_o из условия

P(D„>D_o) = а . Чтобы перейти к распределению Колмогорова запишем

Здесь х₀ = - процентная точка распределения Колмогорова. При п»1

приближенное значение корня уравнения можно найти как

в таблице

1 ²

Тогда D_q = J—In—, если D₁₇Q, то гипотезу F_o нет оснований отвергать; в а

противном случае - ее отвергают.

Принадлежность двух выборок одному и тому же распределению

Предположим, что имеются две выборки (х_1?х₂...х„) и (

с независимыми элементами, каждая из которых принадлежит некоторому распределению. Представляет интерес проверить гипотезу о том, что обе эти выборки принадлежат одному и тому же распределению. Пусть F_x (z) и F_y (z) - эмпирические функции распределения, построенные по указанным выборкам. В качестве критерия согласия примем величину

D = maxF_I‘(x)-F₁‘(s)|,

Как доказал Н.В. Смирнов при я —> оо

• 1 Л
• 2 , _ч

Если а - уровень значимости, то в первом приближении величина порога

_м Г1 Г 11. 2

D_o = J—4---J—In —

у п т V 2 а

Правило проверки гипотез: выборки принадлежат одному и тому же распределению, если D < D_o.

Пример 4.2. Монету бросали 4040 раз (Бюффон). Получили П) = 2048 выпадений герба и /?₂ = 1992 выпадений решки. Проверить, используя а) критерий Колмогорова; б) критерий Пирсона, согласуются ли эти данные с гипотезой Н_о о симметричности монеты (ОС = 0,05).

Случайная величина У принимает два значения: xi = -1 (решка) и Х2 = 1 (герб). Гипотеза H_Q : Р{х = -1} = Р{х=1} = 1/2.

• а) По таблице распределения Колмогорова находим корень уравнения К(х) = 1 - ОС при а = 0,05. Следуетло = 1.358. Тогда = -^= = 1*358 ~ q q2 j
• 4п л/4040

Для нахождения по выборке D_n строим функции F_o (х) и F_n (х) и вычисляем величину D = max F* (х) - F_o (х) .

• 0, х<-1
• 0.5, -1 < х < 1

0, х<-1

1, 1 < х

Максимальное отклонение F₀(x) от Р'_п (х) равно 0,007, т.е. D„ = 0,007. Поскольку D_n < D_o, то нет оснований отвергать гипотезу H_Q; опытные данные согласуются с гипотезой H_Q о симметричности монеты.

• 2
• б) Вычисляем статистику % :
  • 6 и²
  • 2 р

Хнаб_Л=Ъ--^{П =}

,=1 "Pi

• 1992² 2048²
• 0.5*4040 0.5*4040
• 4040 =0.776.

По таблице %² распределения находим критическую точку /² _к = Jfo 05-1 ⁼ 3-& Так как 2^-2

%_набл < 051 ^т0 опытные данные согласуются с гипотезой о симметричности монеты. ?