9

8

8

9

9

8

12

У

5

10

10

7

5

6

6

5

6

8

Построить уравнение регрессии: зависимости добычи угля от мощности пласта.

13.2. В таблице приведены данные о связи между ценой на нефть X (ден. ед.) и индексом нефтяных компаний Y (усл. ед.). Предполагая, что связь между величинами X и Y линейна, найти функцию регрессии.

X

11,0

И,5

12,0

12,5

13,0

13,5

у

1,5

1,5

1,6

1,7

1,9

1,9

13.3. В таблице указаны курс акций-Y и эффективность рынка- X.

xi

10

9

9

10

10

11

12

10

9

10

Yi

15

13

14

15

16

17

16

15

14

15

Найти зависимость курса акций от эффективности рынка.

13.4. Двумерная выборка задана совокупностью пар.

х>

3

7

4

9

4

5

7

Yi

1

2

3

2

1

2

2

Найти выборочный коэффициент корреляции. Сделать вывод о тесноте корреляционной связи.

13.5. Задана корреляционная таблица двумерной выборки.

y

X Х^

0

1

2

5

8

1

0

8

2

7

6

Найти выборочный коэффициент корреляции. Сделать вывод о тесноте корреляционной связи.

13.6. Задана корреляционная таблица двумерной выборки.

Y

XX.

0-2

2-4

4-6

0-4

1

1

2

4-8

3

7

8

Найти выборочный коэффициент корреляции. Сделать вывод о тесноте корреляционной связи.

13.7.3адана корреляционная таблица двумерной выборки.

Y

X

0

1

2

-2

5

5

8

-1

6

4

2

Найти выборочный коэффициент корреляции. Записать уравнение линейной регрессии.

13.8. Задана корреляционная таблица двумерной выборки.

Y

X X,

1-3

3-5

5-7

0

5

3

0

1

6

3

1

Найти выборочный коэффициент корреляции. Записать уравнение линейной регрессии.

ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ НЕИЗВЕСТНЫХ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Интервальной называется оценка неизвестного параметра теоретического распределения, определяемая двумя числами - концами интервала. Если 0 - параметр теоретического распределения,

0 - его точечная оценка, то точность интервальной оценки определяется из неравенства: где 5 - малое положительное число.

Надежностью (доверительной вероятностью) у называется веро

ятность, с которой осуществляется неравенство

&

0-0

S, т. е.

р(|©-0*|

Доверительным интервалом называется интервал (© -8,0 +б) покрывающий неизвестный параметр 0 с заданной надежностью

7.

Интервальные оценки математического ожидания нормального распределения

Интервальной оценкой математического ожидания М(Х) = а нормального распределения:

- при известном среднеквадратическом отклонении о является доверительный интервал

_ о а

x-t—f=< а < х + л/п л/п

- при неизвестном среднеквадратическом отклонении о является доверительный интервал

х -1Y —f= < а < х +17 -j=.

с надежностью у, где x - выборочное среднее; s - исправленное среднеквадратическое отклонение; п - объем выборки; t - аргумент интегральной функции Лапласа, определяемого по таблице (см. прил. 2, табл. 3) из соотношения 2O(t) = у; ty - величина, определяемая по таблице распределения Стьюдента (см. прил. 2, табл. 4) при заданных п и 7 .

Интервальные оценки среднеквадратического отклонения нормального распределения

Интервальной оценкой среднеквадратического отклонения а(Х) = а нормального распределения с надежностью у по стандартному отклонению s называется доверительный интервал

s (l-q)у (см. прил. 2, табл. 7).

Интервальная оценка неизвестной вероятности биномиального распределения

Интервальной оценкой неизвестной вероятности р биномиального распределения по относительной частоте w с надежностью 7 называется доверительный интервал вида Р] < р < р2? где где п - объем выборки; t - значение аргумента функции Лапласа, причем 2(t) = 7 (см. прил. 2, табл. 3).

При больших значениях п в качестве приближенных границ доверительного интервала принимаются:

Iw(l-w) х /w(l-w)

Pi=w-t------, р2 =w + t ------

V п V п

Интервальная оценка выборочного коэффициента корреляции

Интервальной оценкой выборочного коэффициента корреляции r(X, Y) с надежностью у называется доверительный интервал:

где n - объем выборки, at- коэффициент, находимый по таблице функции Лапласа (см. прил. 2, табл. 3) из соотношения 2Ф(Т) = 7. Формула используется при значительных объемах выборки.

ЗАДАЧИ

  • 13.1. Одним и тем же прибором со среднеквадратическим отклонением случайных ошибок измерений о = 40 м произведено 5 равноточных измерений расстояний от орудия до цели. Найти доверительный интервал для оценки истинного расстояния тх до цели с надежностью 7 =0,95, зная среднее арифметическое результатов измерений х = 2000м. Предполагается, что результаты измерений распределены нормально.
  • 13.2. По данным 16 независимых равноточных измерений некоторой физической величины найдены среднее арифметическое результатов измерений х = 42,8 и исправленное среднеквадратическое отклонение s = 8. Оценить истинное значение измеряемой величины с надежностью у = 0,999.
  • 13.3. Пусть имеется генеральная совокупность с некоторой характеристикой, распределенной по нормальному закону с дисперсией, равной 6,25. Произведена выборка объема п = 27 и получено средневыборочное значение характеристики х = 12. Найти доверительный интервал, покрывающий неизвестное математическое ожидание исследуемой характеристики генеральной совокупности с надежностью у = 0,99.
  • 13.4. При выборочном обследовании 100 телезрителей оказалось, что 35 из них регулярно смотрят программы НТВ. Построить 99%-ный доверительный интервал для доли Р всех телезрителей, предпочитающих канал НТВ.
  • 13.5. При формировании для фирмы портфеля поставок был произведен случайный повторный отбор 100 поставщиков, которые осуществляли поставки сырья в прошлом году. Для доли w несвоевременно отгрузивших сырье поставщиков необходимо определить доверительные границы на уровне 0,997, если в выборке оказалось 25 таких поставщиков.
  • 13.6. Сколько надо сделать измерений некоторой физической величины, чтобы с вероятностью 0,97 быть уверенным в том, что истинное значение этой величины отклонится от выборочной средней результатов измерений не более чем на 0,05? Известно, что среднеквадратическое отклонение результатов измерений равно 0,3.
  • 13.7. Определить численность выборки при обследовании остатков на расчетных счетах у клиентов банка, чтобы с вероятностью 0,683 предельная ошибка равнялась 5 усл. ед., если о= 120 усл. ед.
  • 13.8. Для оценки стоимости древесины, с целью последующей продажи, была сделана выборка из 100 деревьев участка, подлежащих вырубке. В результате измерения диаметров X деревьев были получены среднее значение х = 50 см и выборочная дисперсия D = 3,5. Определить на уровне 0,95 доверительный интервал для диаметра X деревьев, подлежащих вырубке.
  • 13.9. Для определения привеса рыбы за год в одном из рыбхозов Любанского района проводились выборочные исследования. Разводимые в пруду карпы вылавливались, взвешивались и отпускались обратно. Результаты 100 таких измерений показали, что годовой привес рыбы в среднем составил ДР=200 г, а дисперсия -сг^=320 г2. Найти 95%-ный доверительный интервал для годового привеса рыбы.
  • 13.10. Для оценки уровня безработицы в городе были отобраны 100 человек рабочих специальностей. Из них 6 человек оказались безработными. Оценить с вероятностью 0,95 процент Р безработных рабочих в городе.
  • 13.11. В выборке объемом 500 единиц, произведенной для определения процента всхожести зерна, установлена частость доброкачественных зерен m/n=0,94. Найти вероятность процента всхожести, если допустимая погрешность в его определении равна 2 %.
  • 13.12. По данным выборки объема п= 10 найдено выборочное средневадратическое отклонение <5 = 0,25. Считая генеральную совокупность распределенной нормально, найти доверительный интервал для генерального средневадратического отклонения с надежностью 0,99.
  • 13.13. Пусть шум в кабинах вертолетов одного и того же типа при работающих в определенном режиме двигателях - случайная величина, распределенная по нормальному закону. Было случайным образом выбрано 20 вертолетов, и произведены замеры уровня шума (в децибелах) в каждом из них. Исправленная выборочная дисперсия измерений оказалась равной 22,5. Найти доверительный интервал, накрывающий неизвестное стандартное отклонение величины шума в кабинах вертолетов данного типа с надежностью 98 %.
  • 13.14. В таблице приведены результаты выборочного обследования заработной платы X ста рабочих предприятия, на котором занято 1000 рабочих:

Заработная плата, тыс. руб.

100-120

120-140

140-160

160-180

180-200

Число рабочих

17

40

32

8

3

Найти интервальные оценки математического ожидания и дисперсии. Считая случайную величину X распределенной по закону, близкому к нормальному.

13.15. Задана корреляционная таблица двумерной выборки:

Y

XX.

0

1

1

10

4

2

2

5

Найти выборочный коэффициент корреляции и интервальную оценку генерального коэффициента корреляции с надежностью 0,95.

13.16. Задана корреляционная таблица двумерной выборки:

Y

х X.

0

1

2

-1

3

5

8

0

6

3

2

Найти выборочный коэффициент корреляции и интервальную оценку генерального коэффициента корреляции с надежностью 0,99.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >