Распределение Пуассона

Функция ПУАССОН возвращает распределение Пуассона. Обычное применение распределения Пуассона состоит в предсказании количества событий, происходящих за определенное время, например количества машин, появляющихся на площади за одну минуту.

Синтаксис:

ПУАССОН(х;среднее;интегральная);

х — количество событий;

среднее — ожидаемое численное значение;

интегральная — логическое значение, определяющее форму возвращаемого распределения вероятностей. Если аргумент «интегральная» имеет значение ИСТИНА, то функция ПУАССОН возвращает интегральное распределение Пуассона, то есть вероятность того, что число случайных событий окажется в диапазоне от 0 до х включительно. Если этот аргумент имеет значение ЛОЖЬ, то возвращается функция плотности распределения Пуассона, то есть вероятность точного равенства числа произошедших событий значению х.

Пример: =ПУАССОН(40;50;0) = 0,0215.

ПУАССОН

X 40 = 40

Среднее 50 5б] = 50

Интегральная о| г№ = ЛОЖЬ

= 0,021499631 Возвращает распределение Пуассона. Интегральная логическое значение, определяющее вид функции: интегральная функция распределения (ИСТИНА) или весовая функция распределения (ЛОЖЬ).

Значение: 0,021499631

ОК | Отнена

Справка по этой функции

Рис. 1.21. Встроенная функция ПУАССОН

вз

Л =ПУАССОН(АЗ;Ю;0)

Рис. 1.22. Образец оформления рабочего листа «Распределение Пуассона»

Задание

• 1. Введите в таблицу значения аргумента х в диапазоне от О до 40 с шагом 1.
• 2. Вычислите вероятности того, что успех в серии из 40 испытаний произойдет ровно х раз (х = 0 + 40) при 2с = 10; X = 20; X = 30.
• 3. Используя мастер диаграмм, постройте соответствующие графики распределения.
• 4. Отредактируйте графики в соответствии с образцом оформления (рис. 1.22).

Квантили распределений

Для определения квантилей наиболее важных распределений используются встроенные статистические функции.

1) Квантиль и_р стандартного нормального распределения порядка р:

функция НОРМСТОБР возвращает обратное значение стандартного нормального распределения. Это распределение имеет среднее, равное нулю, и стандартное отклонение, равное единице.

Синтаксис:

Н О РМ СТ О Б Р(вероятность).

Вероятность - вероятность, соответствующая нормальному распределению.

Пример: НОРМСТОБР(0,05) = - 1,645.

2) Квантиль xj,(?) распределения хи-квадрат с к степенями свободы порядка р:

функция ХИ2ОБР возвращает значение, обратное односторонней вероятности распределения хи-квадрат. Если вероятность = ХИ2РАСП(х;...), то ХИ2ОБР(вероятность;...) = х. Данная функция позволяет сравнить наблюдаемые результаты с ожидаемыми, чтобы определить, была ли верна исходная гипотеза.

Синтаксис:

ХИ2О Б Р(вероятность;степени_с вободы);

вероятность — вероятность, связанная с распределением хи-квадрат;

степенисвободы - число степеней свободы.

Пример: х²_0>99(10) = ХИ2ОБР(1 - 0,99; 10) = 23,209.

3) Квантиль /ДА) /-распределения Стьюдента с к степенями свободы порядка р:

возвращает /-значение распределения Стьюдента как функцию вероятности и числа степеней свободы.

Синтаксис:

СТЬЮДРАСПОБР(вероятность;степени свободы);

вероятность — вероятность, соответствующая двустороннему распределению Стьюдента;

степени свободы — число степеней свободы, характеризующее распределение.

Замечания:

• 1. Функция СТЬЮДРАСПОБР возвращает значение /, для которого Р(|Л| > /) = вероятность, где X — случайная величина, соответствующая /-распределению, и Р(|Л| > /) = = Р(Х < —t или X > /).
• 2. Одностороннее /-значение может быть получено при замене аргумента «вероятность» на 2 • вероятность. Для вероятности 0,05 и 10 степеней свободы двустороннее значение вычисляется по формуле СТЬЮДРАСПОБР(0,05;Ю) и равно 2,28139. Одностороннее значение для той же вероятности и числа степеней свободы может быть вычислено по формуле СТЬЮДРА-СПОБР(20,05;Ю), возвращающей значение 1,812462.

Пример: Zb 95(Ю) = СТЬЮДРАСПОБР(2*(1 - 0,95); 10) = = 1,812.

Аргументы функции ? X

СТЬЮДРАСПОБР Вероятность 2’(1-О,95) = 0,1

Степени_свободы 10 = 10

= 1,812461102 Возвращает обратное распределение Стьюдента. Степени_сво6оды положительное целое число степеней свободы, характеризующее распределение. Значение: 1,812461102 Справка по этой функции | ОК | Отнена

Рис. 1.23. Квантиль распределения Стьюдента

РРАСГЮБР

Вероятность 1^95 = 0,05

Степени_сво6оды 1 7 ? 7

Степени_свободы2 ю ?4; " ¹⁰

= 3,135464805

Возвращает обратное значение для F-распределения вероятностей: если р = FPACTI(x,...), то

Значение: 3,135464805

Справка по этой функции

ОК | Отмена

Рис. 1.24. Квантиль распределения Фишера

4) Квантиль F_p(k, к₂) F-распределения Фишера с числами степеней свободы к в числителе и к₂ в знаменателе порядка р:

возвращает значение, обратное F-распределению вероятностей (распределению Фишера). Если р = ЕРАСП(х;...), то ЕРАСПОБР(р;...) = х

F-распределение может использоваться в F-тесте, который сравнивает степени разброса двух множеств данных. Например, можно проанализировать распределение доходов США и Канады, чтобы определить, похожи ли эти две страны по степени плотности доходов.

Синтаксис:

ЕРАСПОБР(вероятность;степени_свободы1 ;степени_ свободы2);

вероятность — вероятность, связанная с F-распределением; степенисвободы! — числитель степеней свободы;

степени_свободы2 — знаменатель степеней свободы.

Пример: F_o,₉₅(7,10) = ЕРАСПОБР (1-0,95,7,10) = 3,14.

Задание

Используя встроенные статистические функции, найдите квантили

Wo,95, Wo,05, Хо,95(10), Хо,0s(10), 4),99(10), /₀,01(Ю),

Fq,95(3,10), Fo.95(1O,3), Fo,o5(1O,3), Fo,9o(1O,3),

Wq,005, Xo,975(14), Xo,005(28), /0,995(8), F_o,995(5,I5), Fo,os(9,2).

Проверьте найденные значения по таблицам квантилей.

Контрольные вопросы

• 1. Что изучает теория вероятностей?
• 2. Что такое случайное событие? Какова классификация событий?
• 3. Что называется вероятностью случайного события?
• 4. Какое событие называется противоположным событием? Суммой событий? Произведением событий?
• 5. Что такое условная вероятность и независимость событий?
• 6. Как вычисляется вероятность противоположного события, суммы двух событий, произведения двух событий?
• 7. Формула полной вероятности и формула Байеса. Пример.
• 8. Формула Бернулли. Формула полиномиальной вероятности. Формула Пуассона. Примеры.
• 9. Что такое случайная величина? Перечислите типы случайных величин.
• 10. Что называется законом распределения случайной величины?
• 11. Каковы способы задания закона распределения случайной величины?
• 12. Назовите числовые характеристики случайных величин. Каковы их свойства?
• 13. Назовите основные законы распределения случайных величин.