Нормальное распределение
Наиболее распространенным на практике является нормальный закон распределения. Нормальным распределением (или законом Гаусса) называется распределение непрерывной случайной величины, плотность которой определяется по формуле:
/(*) =—=е
- (х-т)2 2<т2
- (1.36)
где т и а — параметры распределения.
Функция нормального распределения в соответствии с (1.18)
F(x) = —je (У у 2 7г —©о
(t-тУ
dt.
(1-37)
Для краткой записи нормального распределения с параметрами т и о используют обозначение N(m, о). Можно доказать, что параметр т равен математическому ожиданию, а параметр о — стандартному отклонению случайной величины X.
В частном случае параметры т = 0, а = 1. Нормальное распределение 7V(0, 1) называется стандартным нормальным распределением. В этом случае плотность распределения
(1.38)
/(*) = -/=« 2-
Кривая распределения, построенная по формуле (1.38) на рис. 1.7, имеет колоколообразный вид, вертикальная ось является осью симметрии, горизонтальная -
- 68,26%
- 95,44%
- 99,73%
Рис. 1.7. Кривая стандартного нормального распределения
асимптотой. Максимальное значение ординаты равно 1/72^ «0,4.
При значениях аргумента х = ± 3 значения функции близки к нулю: при общей площади под кривой распределения, равной единице, в этом диапазоне лежит 99,73%. Заметим,
Рис. 1.8. Влияние параметра т на вид кривой нормального распределения
Рис. 1.9. Влияние параметра о на вид кривой нормального распределения
что в диапазоне х = ± 2 лежит 95,44% площади под кривой распределения, а в диапазоне х = ± I — 68,26%.
При изменении параметра т график сдвигается вправо или влево так, что прямая х = т — ось симметрии (рис. 1.8). При увеличении параметра о (рис. 1.9) максимум кривой распределения снижается, при уменьшении о кривая вытягивается вверх, при этом по условию нормировки площадь под кривой распределения остается постоянной (и равной единице).
Вновь рассмотрим стандартное нормальное распределение МОД)- Функция такого распределения иногда называется функцией Лапласа, она имеет специальное обозначение:
Ф(х) =
(1-39)
Эта функция табулирована (см. приложение). Например, Ф(2,48) = 0,9934. График функции показан на рис. 1.10. Из симметрии графика вытекает следующее соотношение:
Ф(-х) = 1 - Ф(х).
(1-40)
Табулированы и квантили нормального распределения (см. формулу (1.23)). Квантиль нормального распределения порядка р — это число ир, для которого Ф(ир) = р. Например, «о,95 = 1,645 (см. приложение). Из симметрии графика функции стандартного нормального распределения и формулы (1.40) вытекает полезное соотношение для квантилей:
Щ-Р = -ир. (1.41)
Можно установить связь между функцией распределения F(x) для распределения N(m, о) и функцией стандартного нормального распределения:
- ( F(x) =
- (1-42)
Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в интервал от до х2 в соответствии с зависимостями (1.16) и (1.42) определяется по формуле
Р(х, < X < х2) = Ф
V
(1.43)
Часто в расчетах надо найти вероятность того, что случайная величина X не слишком сильно отклонится от своего математического ожидания иг
Р(| X-т | < е) = 2Ф(е/о) - I. (1.44)
Пусть, например, е = Зо. Используя таблицы функции стандартного нормального распределения, найдем:
Р(| X- т | < За) = 2Ф(3) - 1 = 2- 0,99865 - 1 = 0,9973.
Поэтому вероятность того, что случайная величина отклонится от математического ожидания больше, чем на Зо, ничтожно мала: Р(| X — т | > Зо) = 0,0027. Такое событие практически невозможно. В связи с этим на практике часто используется так называемое правило «трех сигма»: отклонение нормально распределенной случайной величины от ее математического ожидания, как правило, не превышает утроенного стандартного отклонения.
Широкое распространение нормального распределения обосновывается центральной предельной теоремой, устанавливающей условия, в которых справедливо нормальное распределение.
Упрощенная формулировка теоремы такова. Пусть Xt, Х2, ... Х„ — независимые, одинаково распределенные случайные величины. Тогда при увеличении п закон распределения суммы этих величин неограниченно приближается к нормальному. Вопрос о том, при каких значениях п распределение можно приближенно считать нормальным, зависит от точности расчетов.
Распределение хи-квадрат
В заключении кратко остановимся на распределениях непрерывных случайных величин, используемых в статистических расчетах (наряду со стандартным нормальным распределением).
Пусть X, — случайные величины, имеющие стандартное нормальное распределение У(0, 1). Распределение суммы квадратов этих величин, представленное формулой
Рис. 1.11. Кривые распределения хи-квадрат
- -7 к I
- (1.45)
i=
называется распределением хи-квадрат с к степенями свободы. График кривых распределения хи-квадрат показан на рис. 1.11. Квантили распределения хи-квадрат обозначаются х2/А); они табулированы (см. приложение), их значения определяются числом степеней свободы к и порядком квантили р. Например, %2о,975(15) = 27,5.
Распределение Стьюдента
Пусть X — случайная величина, имеющая стандартное нормальное распределение 7V(0, 1), a Y— случайная величина, распределенная по закону хи-квадрат с к степенями свободы. Распределение величины, представленное формулой:
t(k) = -^=, (1.46)
называется распределением Стьюдента с к степенями свободы. График кривой распределения Стьюден-
Рис. 1.12. Кривые распределения Стьюдента
та показан на рис. 1.12. Квантили распределения Стьюдента tp(k) табулированы (см. приложение). Например, /о,99( 12) = 2,681. Кривая распределения Стьюдента, как и кривая стандартного нормального распределения, симметрична относительно оси ординат, поэтому по аналогии с (1,41) ti-P(k) = - tp(k).
Распределение Фишера
Пусть Y[ — случайная величина, распределенная по закону хи-квадрат с kj степенями свободы, а - случайная величина, также распределенная по закону хи-квадрат, но с к2 степенями свободы. Тогда распределение величины, показанное в формуле
Y /к
F(kl,k2) = -^-, (1.47)
называется распределением Фишера с к степенью свободы в числителе и с к2 - в знаменателе. График кривых распределения Фишера показан на рис. 1.13. Квантили распределения Фишера Fp(k{,k2) табулированы (см. приложение). Например, 7*0,95(5,10) = 3,33.
f(x) A
Рис. 1.13. Кривая распределения Фишера
