Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых на плоскости

Углом а между двумя прямыми 1 и /2 (в указанном порядке) называется угол, на который нужно повернуть против часовой стрелки прямую 1Х для того, чтобы она совпала с прямой /2 (0 < а < 180").

В некоторых случаях рассматривают острый угол между двумя прямыми 1 и /2 -наименьший из углов, на который нужно повернуть одну из прямых до совпадения её со второй прямой (0 < а < 90").

Вычисление угла между прямыми, заданными уравнениями с угловым коэффициентом

Пусть прямые 1Х и /2 заданы уравнениями с угловыми коэффициентами:

/] : + и /2 : у2 = &2 • л 4-Z?2

Угол между прямыми 1 и Z2 можно вычислить по формуле:

кхк2 +1 cos а = . ~ .

yZcj” +1 ’ ?yj к +1 к -к или по формуле tg а = —----

1 + кхкэ

Острый угол гол между прямыми 1 и Z2 можно вычислить по формуле:

|^1 • ^2 + 1|

кх 4-1 • д/&2 4-1

или по формуле

к2 — кх

1 + кхк~,

Вычисление угла между прямыми, заданными общими уравнениями

Пусть прямые Ц и Z2 заданы общими уравнениями

Z, : А,х + В,у 4-С, = 0 и Z, : Аох+Вэу + С? = 0.

11 1 1 XX X X

Угол между прямыми Zi и Z2 можно вычислить по формуле:

А, • А, 4- В, • В~, COS 69 = . =---. ~ -

7а,2 + В|2 Уа22 + В,2

ДР _ R . Д или по формуле tg а = ——---!--—

А| ? А2 4- Вх ? В~>

Острый угол гол между прямыми 1 и Z2 можно вычислить по формуле:

|Ai • А2 4- Вх • В2| COS 69 = . =---.

д/а,2 4-в,2 22 + в22

с угловыми

  • (8)
  • (9)
  • (Ю)
  • (П)
  • (12)
  • (13)
  • (14)

или по формуле

А, Вг- By ? А2 А| ? А~, + By ? В,

(15)

Условия параллельности и перпендикулярности прямых

• Для того чтобы прямые и Ц были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы

а2 в2

или

Л,

а2

В,

В,

  • (16)
  • • Для того чтобы прямые Ц и /2 были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы

А] • Аэ + By • Вэ — 0

(17)

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых на плоскости

Если прямые параллельны (/[ | | /2) (рис. 24), то = а2

Следовательно, tg = tg а2 и ку = к2

Если прямые перпендикулярны (/] ± /2) (рис.25), то

Я" а = — => coscz = 0

2

Следовательно,

к к Л-1

. 1 2 . =0 => кукэ +1 = 0 => ку • кэ = -1 или

“Ь1 ’ук'2 +1

(19)

Уравнения прямых, проходящих через данную точку параллельно и перпендикулярно заданной прямой

Условия параллельности и перпендикулярности прямых часто используют при поиске неизвестного углового коэффициента прямой.

Пример 3

Дано уравнение прямой / : 6x4-2у+ 3 = 0.

1) Найти уравнение прямой 1у, параллельной данной и проходящей через точку М (1 ;3).

Для получения уравнения прямой воспользуемся формулой (7): у - yj = к • (х - )

Координаты точки, лежащей на прямой, нам известны. Нужно найти ее угловой коэффициент кх. Так как прямые / и 1Х параллельны, их

угловые коэффициенты должны быть равны кх = к. Исходной прямая задана общим уравнением. Для определения ее углового коэффициентам перейдём от общего уравнения к уравнению с угловым коэффициентом: 3

у = -3х~ — (пример 1). Угловой коэффициент исходной прямой

к = - 3 . Следовательно, кх = к = - 3. Воспользуемся уравнением (7): у-3 =-3-(х-1); у-3 =-3x4-3; у =-Зх +6 (рис. 26).

2) Найти уравнение прямой /2, перпендикулярной проходящей через точку М (1;3).

Угловой коэффициент исходной прямой к = - 3. коэффициент перпендикулярной ей прямой / 2: к^ = ——

данной и

Воспользуемся уравнением (7):

  • 1 1 — х-Ь —;
  • 3 3
  • 1 .2 z
  • ?у = зх+2з рис
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >