Уравнение Бете-Солпитера

Процессы двухчастичных возбуждений описываются с помощью двухчастичной функции Грина:

G(l, 2,3,4) = (-i)² (N IT[y/(l)^(3)^'(4)^'(2)];. (3.38)

Введем 4-точечную (приводимую) поляризуемость:

Ш,2,3,4) = L° (1,2,3,4) - G(l,2,3,4), (3.39)

где поляризуемость для независимых дырки и электрона:

L°(l,2,3,4) = iG(l,3)G(2,4), (3.40) описывает распространение электроны и дырки по отдельности.

Для функций L и L выполняются уравнения Дайсона, которые известны, как уравнения Бете-Солпитера (BSE):

L(l,2,3,4) = L⁰(l,2,3,4)-Jd(5678)L⁰(l,2,5,6)K(5,6,7,8)L(7,8,3,4), (3.41)

L(l,2,3,4) = L° (1,2,3,4) - jd (5678)L°(1,2,5,6)K(5,6,7,8)L(7,8,3,4), (3.42)

где К и К:

К(5,6,7,8) = <5(5,6)<5(7,8)l>(5,7) +iE(5,6,7,8), (3.43)

К(5,6,7,8) = (5,7) +iE(5,6,7,8), (3.44)

a E определяется как:

H(1,2,3,4) = -^L. (3.45)

Связь с неприводимой поляризуемостью производится через 4-точечное расширение с кулоновским потенциалом ь>(1,2,3,4) = J(l,2)J(3,4)t>(l,3):

L(l,2,3,4) = L(l,2,3,4) - Jd (5678)L(l,2,3,4)v(5,6,7,8)L(7,8,3,4), (3.46)

L(l,2,3,4) = L(l,2,3,4) - Jd(5678)L(l,2,3,4)u(5,6,7,8)L(7,8,3,4). (3.47)

Уравнения (3.46-3.47) в сочетании с:

L(l,2,3,4) = L⁰(l,2,3,4) + iJd(5678)L⁰(l,2,5,6)E(5,6,7,8)L(7,8,3,4), (3.48)

дают уравнения (3.41-3.42).

Макроскопическая диэлектрическая проницаемость:

^_M(w) = l-lim b^>(q)fdrdr'exp(iq(r-r'))L(r,r,r',r',w), (3.49)

q^O ^J

а ее мнимая часть задает спектр поглощения. Спектр характеристических потерь энергии электронами (EELS) задается уравнением (3.49), если произвести замену L на L.

В выражении (3.43) ядро К состоит из двух слагаемых: 4-точечного Кулоновского взаимодействия, также называемого электронно-дырочным обменом, а второе слагаемое - изменение собственной энергии в зависимости от изменения функции Грина. В приближении GW собственная энергия Z = iG(l,2)W(2,l), что приводит к:

К (1,2,3,4) = ?(1,2)?(3,4)Б(1,3) - ?(1,3)?(2,4)W(1,2), (3.50)

где не учитывали изменение экранирования вследствие возбуждения, и - означает, что Кулоновские взаимодействия должны быть взяты без дальнодействующего компонента Фурье при G = 0 [32]:

'5(q) = L>(q),q#0

v(q = 0) = 0

3.2.1 Эффективные двухчастичные уравнения

Четыре переменные времени, которые неявно содержатся в 4-точечной поляризуемости, могут сведены к одной, рассматривая распространение и взаимодействие двух частиц, электрона и дырки, как одновременное и мгновенное, что соответствует, что (t₂ =t₁⁺;t₄ =tj) и W(l,2) =W(r₁,r₂)?(t₁-t₂). Таким образом, благодаря преобразованию Фурье, мы имеем:

L(l,2,3,4) L(l,2,3,41 w), (3.52)

L(l,2,3,4) -> L(l,2,3,41 w), (3.53)

где цифры в скобках указывают только на пространственные и спиновые перемененные, но не на время.

Определим поляризуемость в переходном пространстве через пары одночастичных волновых функций(то есть переходы):

Цп,п₂)(п₃п₄) = fdr₁dr₂dr₃dr₄L(l,2,3,44_] (ij)^ (г₂)^ (г₃)^„₄ (г₄), (3.54) где индекс п включает зону и волновой вектор. Тогда уравнения (3.41-3.42) перейдут в:

Ь(_П1П₂)(п₃п₄) - 1^_П1П2)(_ПзП4) + 1^_П1П2 Хп₅п₆)К(_П5Пб)(_П?П8) L(n₇n₈)(11₃П₄ ) . (3.55)

Если ф - это волновые функции Кона-Шэма. то:

т°

(П1П₂)(п₃п₄)

fn₂ )^n_bn₃^n₂,n₄

E_n -E_n -W-i77 ^п2 ^П1 '

(3.56)

где т] - небольшой сдвиг для того, чтобы избежать расхождения в знаменателе.

Если решить уравнение (3.55), то:

L(_nin₂)(n₃n₄) —

1

I-lPF

Ь°=ПЬ⁰,

(3.56)

П(_П1п₂)(п₃п₄) [^Ет₂ ^Ет₁ ^w/^m₁,m₃^m₂,m₄

^X(f_mi “ ^fm₂)^K(m₁m₂)(m₃m₄)^_nin2)(n3n4)(^Em₂ “ ^Ет]

Можно определить двухчастичный или экситонный Гамильтониан:

• (3.57)
• (3.58)

Н(_П1п₂)(п₃п₄) (^Еп₂ ^Enj М1₁₅п₃^п₂,п₄ +( fnj fn₂ )К(_П1п₂)(п₃п₄) ’ тогда уравнение (3.56) станет:

• 1-1
• - I^wJ(n₁n₂)(n₃n₄)

I

ⁿbⁿ2 ⁿ3’ⁿ4 *

• ( fn₃
• -fn₄)’
• (3.59)
• (3.60)

Структура экситонного Гамильтониана весьма сложна, используется

Гамильтониан такого вида:

Н 2р,ехс

тт 2p,reso

ⁿ(vc)(v'c’)

coupling

L^K(vc)(c'v')J

^coupling '

^K(vc)(c’v')

__ тт 2p,reso L^rt(vc)(v'c')J )

(3.61)

где v,v' - занятые состояния Кона-Шэма, с,с' - свободные состояния, -

соединительная часть, которая смешивает положительные и отрицательные частоты переходов, в приближении Тамма-Данкова эта часть равна нулю. Матрица ЕЕ (vcj(vV)

связана только с положительными частотами переходов и называется резонансным членом:

тт 2p,reso ⁿ(vc)(v'c’)

• (vc)(v'c') ’
• (3.62)

а четвертый член матрицы - антирезонансныи.

Представим обратный экситонный Гамильтониан в спектральном

представлении:

д(П]П₂-1 Д*(^П3^П4)

ЩПзМп^) ? - г- ехс

Л,Л' ~ ^w

(3.63)

система собственных векторов и собственных значений определяется из двухчастичного уравнения Шредингера для экситонной системы:

Н 2р,ехс д(п₃п₄) _ рехс д(П|П₂)

• (П|П₂ ХП3П4) /I /I
• (3.64)

Матрица перекрытия задается как:

(3.65)

П1П₂

Данное приближение приводит к тому, что экситонные собственные значения

Е^^хс реальные, а возбуждение имеет бесконечное время жизни.

Поляризация

находится после нахождения экситонных собственных значений как:

д(^п1^п2)с-1 Д*(^П3^П4)

¹ П ^СХС «7

Л,.Л' - ^w

(3.66)

которую можно поставить в (3.49):

• ?_м (w) = l-]imo₀(q)y q—>0
• <п₁п₂)(^П1^1еХР(~^1<»^Г)^1п2)4^П1П2)

^ЕГ -w-iz?

(3.67)

Выражение (3.67) хорошо подходит для расчета спектров поглощения полупроводников. Обнуление соединительной части не приводит к ошибкам в спектре поглощения, но для спектров характеристических потерь энергии электронами (EELS) данное соединительное слагаемое нужно учитывать.

Рисунок 3.3 - Спектр поглощения твердого кремния: сравнение результатов, полученных с использованием BSE с другими методами (RPA, GW-RPA) и из эксперимента [32]

На рисунке 3.3 изображен спектр поглощения кристаллического кремния, который получался разными методами, в том числе и с использованием уравнений Бете-Солпитера [32].