ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Введение в аналитическую геометрию

1.1. Простейшие задачи аналитической геометрии

Расстояние между двумя точками на плоскости

Пусть даны две точки А(хЛ; ул) и В(хв; ув), тогда

AB = d = ^(хвЛ)2+(увЛ) ?

Задача 1. Дано А(2; 4), В(3; 2).

? Имеем АВ = 7(3-2)2 + (2-4)2 = VT+4 = 75 . ?

Если точка В симметрична точке А(а; Ь) относительно биссектрисы первого — третьего координатных углов, то её координаты легко записать сразу В(Ь; а). Почему?

Задача 2. Точка В симметрична точке А(4;-1) относительно биссектрисы первого — третьего координатных углов. Найти АВ.

  • ? 1) Определим координаты точки В. В(-1; 4).
  • 2) Воспользуемся формулой для расстояния между двумя точками на плоскости.

АВ = V(-l-4)2 + (4-(-l))2 = л/25 + 25 = 5-^2. ?

Деление отрезка в данном отношении

AM

МВ

Если даны концы отрезка А(ха; уА), В(хв; ув) и Л = то

Лл+^в .. Ул ±±Ув

1 + Л ’Ум 1 + Л

формулы, определяющие координаты точки М(хмм), делящий отрезок АВ в данном отношении Л.

Если л = 1, то точка М — середина отрезка, r _ХЛВ v __ У А + У В лм 2 ’ Ум 2

Найти точку М — значит найти её координаты.

Задача 3. Дано А(-2; 1), 5(3; 6), АМ/МВ = 3/2. Найти точку м .

? Находим координаты точки М

^-2 + 3/2-3_(-4 + 9)/2_5

  • 1 + 3/2 " 5/2 ~5~ '
  • 1 + 3/26 (2 + 18)/2 20 . „„ ,ч

" 1 + 3/2 5/2 5

Задача 4. Даны вершины треугольника А(3; -7), 5(5; 2), С(-1; 0). Найти середины его сторон.

? 1. Сделаем чертёж. Обозначим середины сторон буквами P,Q,R в направлении против часовой стрелки (так принято).

2. Подставив соответствующие координаты в формулы, найдём искомые точки

хр

ХАВ _ 3 + 5 _ У А + У В

  • 2 2 2
  • -7 + 2 5 J. 5"|
  • ----=— => Р 4;— .
  • 2 2 2J

_ хд + хс _ 5 + (-1) е - 2 ' 2

= 2;?c=A^=2 + 0 = 1^e(2;1)_

^хсл _ -1 + 3 _ Ус + Уа _ 0 + (-7)_ 7

* 2 2 2 22

Задача 5. Даны координаты двух смежных вершин параллелограмма А(-9/2;-7), В(2; 6) и точка пересечения диагоналей М (3; 3/2). Найти координаты двух других вершин.

? Сделаем чертёж.

к задаче 5

Рисунок к задаче 5

Точка D делит отрезок МВ внешним образом в отношении Л = MD/DB = -/2. Следовательно,

= хм ~№ХВ = 2х -X у = Ум ~^Ув = 2у -у •

I 1/2 'w ЛвXd i i/2 ^в>

xD = 2 ’}-2 = A,yD = 2-3/2-f> = -3; D(4;-3).

Аналогично для точки С :

= %м-1/2л _ = Уд<-1/2 ул _ .

х<= 1_]/2 ЛХм ХлУс 1-1/2 ЛУм Ул

хс=2-3-(-9/2) = 1/2, ус =2-3/2-(-1) = 10; С(21/2;10). ?

Задача 6. Дан треугольник А(4; 1), 5(7; 5), С(-4; 7). Найти точку пересечения биссектрис угла А с противоположной стороной ВС.

? Сделаем чертёж.

к задаче 6

Рисунок к задаче 6

Известно, что биссектриса любого угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам, т. е. л = CD/DB = АС/АВ. Найдём

AC д/(-4-4)2+(7-1)2 л/100 10

АВ ^5 5

Тогда xD -

  • -4 + 2-7
  • 1 + 2
  • 12. , , 7 + 2-5 3 ,Уо~ 1 + 2
  • 17 pfiO-lZ?!
  • 3 I 3 ’ 3 /

Задача 7. В треугольнике с вершинами 0(0; 0), А(8; 0), 5(0; 6). Определить длину медианы ОС и биссектрисы OD.

? Сделаем чертёж.

к задаче 7

Рисунок к задаче 7

Чтобы найти длины медианы ОС и биссектрисы OD, надо найти точки С и D. С — середина отрезка АВ, т. е.

с 2 2с 2 2 --------

D — точка пересечения биссектрисы с противоположной стороной,

.Хд + Лх» . Уд + ^Ув

D 1 + Л ’ Уо____1 + Л '

, AD АО V82+02 8 4

где Л =----=----- , — .

DB ОВ ТоЧб7 6 3

Тогда

_ 8 + 4/3 0 _ 24 _0 + 4/3-6_24 nf24.243

Х”~ 1 + 4/3 ~ 7 ’Уп~ 1+4/3 ~ 7 ' I 7 ’ 7 /

Дальше очевидно:

ОС = 4С+3- =5; OD = д/(24/7)2 + (24/7)2 =31^1. ?

Как найти центр тяжести треугольника?

Сведём эту задачу к делению отрезка в данном отношении.

Центр тяжести треугольника — точка пересечения медиан, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от соответствующей вершины.

Чтобы найти центр тяжести треугольника, надо определить координаты точки N как середины стороны ВС, а затем найти точку М из условия, что Л = AM/MN = 1/:

х 2Хс+Хв

л,+ 2х,, Г *с+*»!?. Л_ 2 *л+Аа+*с

" 1+2 Г" 2 J 3 3

л У А + У В + Ус

Аналогично ум =————

Координаты центра тяжести треугольника — среднее арифметическое из координат его вершин.

Площадь треугольника

Задача 8. Вычислить площадь треугольника с вершинами А(2;3),5(4;-1),С(6;5).

  • 1 (-2) (-3)
  • 1<-1
  • 1<---
  • 3 1
  • -7 -1
  • -4 -2

= ±|-2(-1)1+1

= (14-4) = 10.

Задача 9. Проверить,

лежат ли на одной прямой точки

А(1;3), В(2;4),С(3;5).

Так как А = 0, то точки лежат на одной прямой.

1.2. Полярная система координат

Построение точек в полярной системе координат

При построении точек в полярной системе координат надо

> сначала построить луч под углом ср к оси Ор,

> затем на луче отложить полярный радиус г.

Задача 10. Построить точки

А(0; 3), В(л-/4; 2), С(Зл/2; 1), О(?г; 2).

Построение точек очевидно из чертежа.

Построение линий в полярной системе координат

Задача 11. Построить линию г = 2(1 + cos (р) и назвать её.

А1) Найдём область расположения линии из условия г > 0:

г >0=>l + cos<^>0=> при любых значениях у?.

  • 0<(р<2тг.
  • 2) Составим таблицу. Так как данная функция чётная, то в таблице приведены значения 0 < (р < л .

0

А 6

А 4

А 3

_7 2

  • 2,7
  • 3

Зя 4

  • 5,7
  • 6

71

г

4

3,73

3,41

3

2

1

0,59

0,27

0

3) Поскольку cosy? принимает максимальное значение, равное 1, если аргумент у? = 0, у? = 2тг, то rmax (0) = 4.

Так как cosy? принимает минимальное значение, равное (-1), если у? = тг, то rminU) = 0.

4) Сделаем чертёж, опираясь на таблицу.

к задаче 11

Рисунок к задаче 11

Эта линия — кардиоида. А

Задача 12. Построить линию г = a sin 2у? (а > 0).

  • ? 1) Найдём область расположения одного лепестка при условии г > 0. г > 0 => sin 2у? > 0 => 0 < 2у? < тг => 0 < у? < тг/2.
  • 2) Форма одного из лепестков определяется rmax = а при значении ср — тг/А- и поведением синуса на полупериоде.
  • 3) к = 2 (см. Опорный конспект), роза имеет 4 лепестка.

Лепестки повторяются через угол : 4 = тг/2. Построим розу.

к задаче 12. ?

Рисунок к задаче 12. ?

Задача 13. Построить линию г = 2cos3y?.

? 1) Найдём область расположения одного лепестка при условии г>0.

г > 0 => cos 3(р > 0 => - тг/2 < 3(р < л/2 =>-^/6<у?<^/6.

  • 2) Форма одного из лепестков определяется = 2 при значении (9 = 0и поведением косинуса на полупериоде.
  • 3) к = 3 (см. Опорный конспект), роза имеет 3 лепестка. Лепестки повторяются через угол 2тг: 3 = 2л/3. Построим розу.
к задаче 13. ?

Рисунок к задаче 13. ?

Переход от одной системы координат к другой

Задача 14. Пусть г = 2(1 + cosy?). Перейти к прямоугольной системе координат.

? Используя формулы перехода от прямоугольной системы координат к полярной системе координат

X

cosy? = — г

имеем

= 2 1 +

Задача 15. Пусть х2 +2х +у2 =0. Перейти к полярной системе.

? Используя формулы перехода от полярной системы координат к прямоугольной системе координат

j X = г cos (р,

[ у = г sin

имеем

г2 cos2 (р + 2r cos (р + г2 sin2 = 0,

г2 (cos2 + sin2 (р) + 2r cos (р = 0, г2 = -2r cos (р .

Задача 16. Пусть г2 =a2cos2cp. Перейти к прямоугольной системе координат.

А г22 + у2; cos 2ср = cos2 - sin2 ср - {cos = f; sin ср = =

= X2 у2 _ х2 - у2 '

~ 2 2 2 , 2 '

Г Г X + у

х2 + у2 = а2 * У21 • (х2 + у2) => (х2 + у2)2 = а222).

X +у 1

Получили уравнение лемнискаты Бернулли в прямоугольной системе координат.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >