Введение в аналитическую геометрию

Простейшие задачи аналитической геометрии

Введение прямоугольной системы координат на плоскости (в пространстве) позволяет установить

взаимно однозначное соответствие между множеством всех точек плоскости (пространства) и множеством упорядоченных пар (троек) вещественных чисел (х; у)

или (x;y;z),

что дает возможность при решении геометрических задач применять алгебраические методы.

Итак, система координат — способ определения положения точек на плоскости (в пространстве).

У ‘

о

Прямоуго;

М(х; у)

_

X ' X

гьная система

Z--. М(Х,У)

/ /У о/X ' X

Косоугольная система координат

*Л/(г; ср)

О* * р

Полярная система

Расстояние между двумя точками на координатной оси

Пусть А(ха) и В(хв) — две точки координатной оси. Тогда расстояние d между ними вычисляется по формуле

d = d(A; В) = |х5Л|. (1.1)

Расстояние между двумя точками на плоскости

Если на плоскости задана, прямоугольная декартова система координат Оху, то расстояние d между любыми двумя точками А(лл; ул) и В(лв; ув) вычисляется по следующей формуле

d = d(A; В) = ^J(xB-xA)2+(yB-yA)2 . (1.2)

Расстояние между двумя точками в пространстве

Выберем в пространстве прямоугольную декартову систему координат Oxyz с базисом {i;j;k}. Пусть даны две точки A(xA;yA,zB) и В(хв; увzB). Соотношение

d = d(A; В) = |АВ| = у](хвА)2 + (ув - уА)2 + (zB ~zA)2 . (1.3) есть формула для нахождения расстояния между двумя точками пространства, заданными своими координатами.

Расстояние между двумя точками в полярной системе координат

В полярной системе координат расстояние между точками А(гл;(рл) и В(гв;<рв) определяется по формуле

|АВ| = г2 + г2 - 2rArB cos((/)b - (рА) . (1.4)

Деление отрезка в данном отношении

Пусть в прямоугольной системе координат Oxyz даны две различные точки, A(xA,yA;zA) и B(xB;yB;zB) (точка А считается первой, точка В — второй). Проведём через данные точки прямую, зафиксируем на ней положительное направление (т. е. сделаем её осью). Пусть С — любая, принадлежащая этой прямой точка, отличная отточки В.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Отношением, в котором точка С делит направленный отрезок АВ, ограниченный точками А и В, называется число

св

где АС, СВ — величины направленных отрезков АС, СВ указанной оси.

Координаты точки С, делящей отрезок [АВ] в отношении Л # 1, через координаты концов отрезка выражаются по формулам.

ХА+Лхв Уа+^Ув za+^Zb ,, х = —-----; у = —---—; z = —-----. (1.5)

1 + Л ' 1 + Л 1 + Л

В частности, если точка С совпадает с серединой [АВ], то Л = 1; тогда равенства (1.5) примут вид:

ХА+Х„ Уд + Уд ZA+ZB ,Л

х =у = ——— :z = —--1.6

2'2 2

т. е.

координаты середины отрезка равны полусуммам координат концов этого отрезка.

Для плоскости в прямоугольной системе координат Оху при тех же обозначениях формулы (1.5) и (1.6) примут соответственно вид:

лл+Ллв ул+Лув хЛв уЛ + ув х —--------, у —--------ИХ —------, у —-------.

1 + Л 1 + Л 2 2

Площадь треугольника

Проще всего площадь треугольника с вершинами

А(хЛ; уА), В(лв; ув), С(хс; ус) вычислять по формуле

Знак ± ставится потому, что площадь треугольника всегда положительна, а определитель может иметь любой знак

5д=-^-|д|, или 5 = ±^-Д, где Д =

ХА

ХВ

хс

Уа

Ув

Ус

Если три точки А(лЛ; уА), В(хв; ув), С(лс; ус) лежат на одной прямой линии, то

ха Уа

°ААВС V

Ув

хс Ус

Геометрический смысл неравенств

Метод координат устанавливает соответствие между частями плоскости Оху и неравенствами или системами неравенств.

Если дана область на чертеже и нужно составить соответствующую ей систему неравенств, то нужно:

  • 1. Записать уравнения границ и посмотреть по условиям задачи, какая из границ входит в данную область G.
  • 2. Записать систему неравенств, соответствующую этой области: нужно:

1. Построить сначала границы х~ + у2 = 1, у = х~.

2. Заштриховать область G и отметить пунктирной линией границы, не входящие в область.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >