Распределение Стьюдента или t-распределение

Если случайные величины л~Д/(0,1) и являются

независимыми, то величина

х

имеет t— распределе-

нне с k степенями свободы или t ~ t(k}.

Таким образом, по закону Стьюдента распределяется отношение стандартной нормальной величины к корню квадратному из независимой случайной величины, распределённой по закону /², делённой на число степеней свободы.

Вероятности ОС выхода случайной величины Т, распределённой по закону Стьюдента, за пределы интервала [— г; г] занесены в таблицу 2 приложения, где

a = St(t,k) = P(T>t).

Вероятность попадания случайной величины/ в интервал h, г₂ ] вычисляется по формуле: < _t < t₂) = ) - St(t₂)] •

Распределение Стьюдента с увеличением числа степеней свободы приближается к нормальному, и, в принципе, при п > 30 вместо распределения Стьюдента можно использовать нормальное распределение. При малых п распределение существенно отличается от нормативного.

Следствие.

Пусть случайные величины х₀, х_1} ..., х„ имеют нормальное распределение ЛГ(О, сН), тогда случайная величина где s_x — оценка стандартного о тклонен ня су, имеет t-распреде-ленне с п степенями свободы.

Распределение Фишера-Снедекора или F-распределение

Если случайная величина и случайная величина

х₂ ~ / ²(F) — независимые случайные величины, то величина

_F_ xjkl

х₂ /к₂

имеет распределение Фишера со степенями свободы числителя k, и знаменателя k₂, что записывается как F ~ F{k_r,k^ ?

В таблице 4 приложения для случайной величины F с числом степеней свободы числителя k₁, знаменателя— k-> представлены два значения, соответствующие двум вероятностям а - 0,05 и 0,01, где а = P(F > F_ma6jl ) •

Следствие 1.

Квадрат случайной величины, имеющей /-распределение с k степенями свободы, распределен как F(l, Л), то есть

Г(к)~

Следствие 2.

Пусть имеются две выборки случайных величин, имеющих одинаковое нормальное распределение

x_//7~N(0, /;=1 ,2, и x_/;/2~N(0, г₂=1, 2, ...,п₂,

тогда случайная величина

где и 5₂ — выборочные оценки стандартного отклонения о на первой и второй выборках с объемами п, и п₂ соответ-2 2

ственно и предполагается, что >«?₂, будет иметь F-распределение со степенями свободы числителя п, и знаменателя п₂. Эта статистика F, в частности, используется для проверки гипотезы о равенстве дисперсий двух выборок.