Лекция 8. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ В ПРОСТРАНСТВЕ

Уравнения плоскости

Общее уравнение плоскости. Зададим плоскость а ее начальной точкой М(х0, у0, z) и нормальным вектором п(А, В, С). Пусть М(х, у, z) - произвольная точка.

Рассмотрим вектор М()М(х - х0, у - у0, z - z0). Точка М принадлежит плоскости о только в том случае, если вектор М0М ортогонален вектору п, т.е. если М0М-п = О,

или

Ах + By + Cz + D =0, (1)

где D = - Ах0 - Ву0 - Cz0.

Таким образом, если дано общее уравнение плоскости, то коэффициенты А, В, С будут представлять собой координаты нормального вектора. Например, при х - Зу +4z -1-0 имеем п(1; -3; 4).

Пример 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(5;5;0) и перпендикулярной вектору и (4; 3; 2).

РЕШЕНИЕ. Используя уравнение (1), получим

  • 4(х - 5) + 3(у - 5) + 2(z - 0) = 0, откуда
  • 4х + Зу + 2z - 35 = 0.

Нормальное уравнение плоскости. Зададим плоскость а нормальным единичным вектором n (cosot, cos|3, cosy), таким, что если его начало совместить с началом координат, то он будет направлен в сторону плоскости а. Координаты вектора п представляют направляющие косинусы. Еще задано расстояние р от начала координат до плоскости а. Пусть М(х, у, z) - произвольная точка.

Точка М(х, у, z) принадлежит плоскости а, если проекция вектора ОМ на направление вектора п равна р, т.е. ОМ п = р, или

xcosot + ycosp + zcosy - р = 0. (2)

Уравнение (2) позволяет просто находить расстояние от произвольной точки до плоскости: надо в левую часть уравнения подставить координаты этой точки. Если полученное расстояние имеет знак «+», то начало координат и точка М находятся по разные стороны плоскости а. Если знак «-», то по одну сторону от плоскости а.

Для получения уравнения (2) надо уравнение (1) умножить на 1 нормирующий множитель М = , , взятый со знаком,

у1А222 противоположным знаку свободного члена общего уравнения плоскости.

Пример 2. Найти расстояние от точки А (5; 1; -1) до плоскости х - 2у - 2z +4 = 0.

РЕШЕНИЕ. Умножим общее уравнение плоскости на нормирующий множитель и подставим вместо переменных координаты

д J 1-5-21-2(-1) + 4 о точки А: а . =--, ------= -3.

А 1л А А

Отрицательный знак dA показывает, что точка А и начало координат находятся по одну сторону от плоскости.

Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Заданы точки А](хр ур Zj), А22, у2, z2), А33, у3, z3). Требуется составить уравнение плоскости, проходящей через эти точки.

Выберем произвольную точку М(х, у, z) и определим векторы а = AjM = (х - хр у - ур z - Z]);

Ь = А,А2 = (х, - хр у, - ур z, - z,);

c = A,A3 = (x3-x,,y3-y|,z,-z|).

Так как эти векторы компланарны, то

х-х, у-у{

z- Zj

Z2-Z1

= 0.(3)

Х2~Х1 У2~У1

Х3~Х1 Т3-Т1

Пример 3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки А (3; -1; 2), В (4; -1; -1), С (2; 0; 2).

РЕШЕНИЕ

х - 3 у +1 z - 2

  • 1 0 -3
  • -1 1 о

= О, откуда

(x-3)3-(y+l)(-3)+(z-2) = О, 3x-9 + 3y + 3 + z- 2 = 0, Зх + Зу + z - 8 = О.

Уравнение плоскости в отрезках. Даны точки А (а, 0, 0), В (О, Ь, 0), С (0, 0, с), расположенные на осях координат, через которые проходит плоскость. Требуется записать уравнение этой плоскости.

Подставив в уравнение (3) координаты точек А, В, С, получим

х-а у

  • b
  • -а 0 (х - a)bc - у(-ас) + zab = О,
  • *+^+?=1.(4) а b с

Пример 4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М (5; 4; 3) и отсекающей равные отрезки на осях координат.

РЕШЕНИЕ. Воспользуемся уравнением плоскости в отрезках, в котором а = b = с: х + у + z = а.

Координаты точки М удовлетворяют уравнению искомой плоскости, поэтому 5 + 4 + 3 = а, откуда а = 12. Поэтому x + y + z-12 = 0.

Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей определяются условиями коллинеарности и перпендикулярности нормальных векторов пДАр Вр Ср и п22, В2, С2).

Условием параллельности двух плоскостей является пропорциональность коэффициентов при одноименных переменных:

A=A=?l>(5)

Аг В, Сг

а условием их перпендикулярности - равенство нулю суммы произведений коэффициентов при одноименных переменных:

а1а2 + в,в2 + с,с2 = о. (6)

Пример 5. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М(2; 3; -1) параллельно плоскости 5х - Зу + 2z -10 = 0.

РЕШЕНИЕ. Используя общее уравнение плоскости, имеем

А(х - 2) + В(у - 3) + C(z +1) = 0.

Нормальный вектор искомой плоскости совпадает с нормальным вектором данной плоскости п(5; -3; 2). Значит, А = 5, В = -3, С = 2 и уравнение искомой плоскости имеет вид 5(х -2) - 3(у - 3) + 2(z + 1) = = 0 или 5х - Зу + 2z + 1 = 0.

Пример 6. Проверить, перпендикулярны ли плоскости Зх-у-2z - 5 = 0, х + 9у - 3z + 2 = 0?

РЕШЕНИЕ. По условию (6) 3 -1 - 1 - 9 + 2-3 = 0. Следовательно, плоскости перпендикулярны.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >