Лекция 6. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

Линейные операторы

Если каждому вектору х линейного пространства Rn по некоторому правилу поставлен в соответствие единственный вектор у = А (х) этого же пространства, то говорят, что задан оператор А .

Оператор А преобразует по заданному правилу координаты вектора х в координаты вектора у:

= f^x2,...,xn

у. =

< "

Поэтому оператор А называют еще преобразованием переменных А .

Примером преобразования переменных являются формулы преобразования координат в аналитической геометрии. Пусть на плоскости имеются две прямоугольные декартовы системы координат хОу и х'Оу' с общим началом О, причем вторая система расположена под углом а относительно первой. Тогда координаты произвольной точки М в первой системе выражаются через координаты той же точки во второй системе по формулам:

х = х' cos а— у' sin а,

у = x'sincr + у'cos а.

В этом примере одна система переменных выражается через другую при помощи многочленов первой степени. Такие преобразования (операторы) называются линейными.

Если оператор А линейный, если для любых векторов х и у пространства Rnn любого числа X выполняются соотношения:

  • 1) А (х + у) = А (х) + А (у) - свойство аддитивности оператора;
  • 2) A (Хх) = X А (х) - свойство однородности оператора.

Вектор у = А (х) называется образом вектора х, а сам вектор х - прообразом вектора у.

Можно показать, что в заданном базисе ер е2,..., епкаждому линейному оператору А соответствует квадратная матрица А n-го порядка

'а» °12 -

^21 ^22 &2п

столбцы которой образованы координатами векторов-образов А (еД Л(е2),..., Ап) в базисе е(, е2,..., еп.

Справедливо и обратное утверждение: всякой матрице п-го порядка соответствует линейный оператор n-мерного пространства.

Связь между вектором х и его образом у = А (х) можно выразить в матричной форме:

Y = AX,(1)

где А - матрица линейного оператора,

X,Y - матрицы-столбцы из координат векторов х и у.

Пример 1. Пусть в линейном пространстве R2 линейный опера-

-2А

I. Найти образ у =

(5 тор А в базисе е.,е, задан матрицей А =

И

А (х) вектора х = 4е( - Зе2.

РЕШЕНИЕ

ГуЛ (5 -2V 4А (26}

= = .То есть у = 26е. - 8е,.

U 4 JI-3J 1-8) 12

Зависимость между матрицами одного и того же линейного оператора в разных базисах выражается теоремой:

Матрицы А и А* линейного оператора А в базисах ер е2,..., еп и е Де,е * связаны соотношением

1 7 2 7 7 л

А* = С'АС, (2)

где С - матрица перехода от старого базиса к новому.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. При воздействии линейного оператора А вектор х пространства Rn переводится в вектор у этого пространства, т.е. справедливы равенства

Y = АХ (в старом базисе), (3)

Y* = А*Х* (в новом базисе). (4)

Так как С - матрица перехода от старого базиса к новому, то

X = СХ*, (5)

Y = CY*. (6)

Умножим (5) на матрицу А слева, получим АХ = АСХ*. С учетом (3) Y = АСХ*. Заменив левую часть последнего выражения в соответствии с (6), получим CY* = АСХ* или Y* = С 'АСХ*. Сравнивая найденное выражение с (4), получим доказываемую формулу. ®

Две квадратные матрицы одного порядка называются подобными, если для них найдется такая невырожденная матрица С, что верно соотношение (2). Следовательно, матрицы линейного оператора в разных базисах являются подобными. При этом матрица С, связывающая эти матрицы, совпадает с матрицей перехода от старого базиса к новому.

А=

Пример 2. В базисе ере2 линейный оператор А имеет матрицу 37 6'

. Найти матрицу этого оператора в базисе = е(-2е2,

6 8,

е2* = 2е(+ е2.

РЕШЕНИЕ

Матрица перехода здесь С=

, а обратная к ней матрица

1<1 -2> 1Л1 -2V17 6V 1

С = — . Следовательно, А*= —

5^2 1 ) 5^2 1 Дб 8Д-2 5 (Н

О 20 J'

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >