Переход к новому базису

Пусть в произвольном линейном пространстве V заданы два базиса: старый ер...,еп и новый е*р...,е*п. Каждый из векторов нового базиса можно выразить в виде линейной комбинации векторов старого базиса:

& [ 1^1 3" ^[2^2 ”*”••• Т ?

< е2 = а21е{22е2 + ... + аеп,

=an^+an2e2+- + anf>en

Матрицей перехода от старого базиса к новому называют матрицу z ,

ап апп)

столбцы которой образуются координатами разложения векторов нового базиса по векторам старого базиса.

Матрица А всегда невырожденная, так как векторы базиса линейно независимы. Обратный переход от нового базиса к старому осуществляется с помощью обратной матрицы А1.

Найдем зависимость между координатами вектора в разных базисах. Пусть рассматриваемый вектор х имеет координаты хр ххп относительно старого базиса и координаты х*р х* х*п относительно нового базиса, т.е.

х = х*е* + х*_е*+...+ х* е* = х.е + х,е,+...+ х е .

11 2 2 n п 112 2 пи

Подставив значения е*р..., е*п из системы (3) в последнее равенство, получим после преобразований

х{ = апх+а21х+... + ап1х*п,

х212х +а22х*2 + ... + ап2х*п,

х = а, х + о, + ... + а х* п п 1 2п 2 пп п

Или в векторно-матричной форме

х = А-х*, (6)

х* = А’Ч. (7)

Пример 2. По условию предыдущего примера вектор b = (4; -4; 5), заданный в базисе ер е2, е3, выразить в базисе ар а2, а3.

РЕШЕНИЕ

Матрица перехода от базиса е(, е2, е3 к базису ар а2, а3 имеет вид

А = 1 -1 5 1 -6J

Евклидово пространство

Линейные операции - сложение векторов и умножение вектора на действительное число - позволяют изучать линейную зависимость и независимость векторов, структуру базиса линейного пространства. Для описания таких понятий, как модуль вектора и угол между векторами, вводится новая операция - скалярное произведение векторов.

Скалярным произведением двух векторов х и у называется число, равное произведению их модулей на косинус угла между ними а, и обозначается х-у:

х-у = |х |-|y|-cos а.

Свойства скалярного произведения:

  • 1) х-у = у-х;
  • 2) х- (y+z) = х-у + x-z;
  • 3) (ах-у)=а(х-у);
  • 4) х-х > 0, если х - ненулевой вектор;

х-х = 0, если х - нулевой вектор.

Эти свойства позволяют при скалярном перемножении векторных многочленов выполнять действия почленно, не обращая вни-48

мания на порядок векторных множителей и сочетая числовые множители.

Линейное пространство, в котором задано скалярное произведение векторов, удовлетворяющее указанным четырем свойствам, называется евклидовым пространством.

Длиной вектора х в евклидовом пространстве называется корень квадратный из его скалярного произведения:

|х| = yl(X‘X) .

Угол между векторами х и у определяется равенством

х -у л

cos а = , 0 < а < л.

Ни

Из последней формулы следует условие ортогональности векторов: векторы ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю.

Если векторы базиса некоторого линейного пространства попарно ортогональны и имеют модули, равные единице, то такой базис называется ортонормированным, а образующие его векторы называются ортами. Орты принято обозначать символами i, j, k. Координаты вектора О А в ортонорм ированном базисе ах, ау и az называются декартовыми координатами, которые равны проекциям этого вектора на соответствующие оси декартовой системы координат: О А = a i + a i + а к,

ах = Прх О А = |ш| cosot,

ау = Пру О А = |ш| cosp,

az = ПрО А = |ш| cosy, где а, Р, у - углы, образованные вектором ОА с соответствующими осями координат.

Косинусы углов а, Р, у называются направляющими и определяются по формулам: cos а = ах / и9Д , cos р = ау /СМ , cos у = az / СМ .

Направляющие косинусы связаны соотношением

cos2 а + cos2 р + cos2 у = 1.

Если известны координаты начала А(хр ур z}) и конца В(х2, у2, z2) вектора АВ , то АВ =2 - хр у2 - ур z2 - гД

Популярность ортонормированного базиса в приложениях объясняется тем, что в этом базисе формулы, задающие скалярное произведение, модуль вектора, угол между векторами, имеют наиболее простой вид. Скалярное произведение можно записать как сумму произведений их соответствующих декартовых координат

х у = х.-у. + х_-у, +... + х -у ;

J I J 1 2 J 2 n J n’

модуль вектора x

угол между векторами х и у определяется из условия

cos а =

Запишем без доказательства условие компланарности трех векторов а = ар + a2j + a3k, b = bp + b,J + b3k, c = cp + c2j + c3k через их координаты:

6/1 ^^з

b2 b3

c, c, c3

Матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому называется ортогональной.

Вещественная квадратная матрица называется ортогональной, если все ее столбцы нормированы и попарно ортогональны. Столбец матрицы называется нормированным, если сумма квадратов его элементов равна 1. Два столбца матрицы называются ортогональными, если сумма произведений их соответствующих элементов равна 0.

Для ортогональной матрицы А справедливо равенство:

А'1 = А1.

Поэтому определитель ортогональной матрицы равен ±1, так как

^•^|=И-И1=И=И=1-

Ортогональная матрица называется собственной, если ее определитель равен единице, т.е. |А| = 1.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >