Классические и современные методы принятия управленческих решений в условиях природного риска

Предприниматель задумал проведение финансовой операции, которая принесет доход. Он уже достаточно грамотно представляет, что такое предпринимательский риск, и прекрасно понимает, что планы и жизнь - это большая разница. Он рассуждает так. Вначале нужно сделать все, чтобы выполнить необходимое условие отсутствия риска.

Нужно представить себе классическую схему «ЕСЛИ-TO...». Например: «Если сложится самое благоприятное сочетание неуправляемых внешних и внутренних факторов, то как я должен буду повести дело, как воздействовать на управляемые факторы экономического процесса, чтобы ничего не потерять и получить максимальную прибыль?»

Поразмыслив над этим вопросом, предприниматель наверняка найдет наилучшее для фиксированного комплекса условий решение. Для этого необходимо применить весь известный ему арсенал финансовых и экономических приемов снижения риска. В частности, известные эвристические правила хеджирования валютного риска требуют оперативно принимать и не спешить отдавать сильную валюту, а со слабой валютой поступать наоборот: производить закупки товаров и услуг в слабой валюте, а продажи - в сильной, стараться использовать форвардные и фьючерсные контракты и валютные опционы и т.п. При выборе конкретного варианта действий из перечисленных следует иметь в виду, что опционы дают возможность воспользоваться благоприятной рыночной ситуацией, но фактически обменный курс будет выше курса использования опциона на величину опционной премии. И вообще, операции с опционами - дело довольно сложное... Дело тут редко доходит до действительной поставки активов. Чаще проигравшая сторона оплачивает свой проигрыш деньгами. При этом американский опцион можно предъявить к исполнению в любой момент не позже определенной даты. Поэтому держатель такого опциона пребывает в постоянном напряжении: как поступить? а вдруг сейчас - самый выгодный момент? Но ведь и за самую возможность выбора наиболее выгодного момента американский опцион стоит дороже. Обо всем этом нужно помнить, поскольку затраты предстоит вычесть из дохода!

Формально дело может быть представлено так: если экономическая обстановка сложится в виде s , то необходимо применить наилучшую для такого случая стратегию Далее он рассуждает: «А если все сложится не так, как я представил себе в обстановке 5(? Тогда моя стратегия уже не будет наилучшим решением». Предприниматель делает естественный вывод: поскольку не понятно, какой будет реально сложившаяся в будущем обстановка, то не ясно, чем может закончиться моя операция. Поэтому надо рассмотреть не один, а несколько сценариев развития событий, надо оценить не одну, а несколько возможных обстановок проведения экономической операции, подобрать не одну, а несколько стратегий для нее.

В результате глубоких размышлений, обращения к собственному опыту, советов со своими партнерами и экспертами предприниматель пришел к выводу о том, что в период проведения его экономической операции и по ее завершении, скорее всего, сложится только одна из возможных обстановок s’ .... s . Он обозначил множество этих возможных экономических условий через S. Далее предприниматель на основе своего личного опыта, своих теоретических знаний, а также советов специалистов, сформировал под каждое конкретное условие s. е Sнаилучшую экономическую стратегию af, а2. av ..., ат и получил множество А стратегий. Таким образом, у него сформировалась матрица размером m х п возможных операционных ситуаций. Затем наступил этап экономических расчетов. Для каждой ситуации р s) рассчитали величины - значение полезного эффекта («доход»), который желательно максимизировать, и у ,атРаты - значение негативного эффекта («затраты»), который желательно минимизировать. В итоге для каждой ситуации (ajf $у) был определен результат у(ар s}) = yjy = доход _ затраты^ характеризующий величину чистой прибыли предпринимателя.

Теперь почти все необходимые данные для принятия решения на проведение экономической операции получены. Остается решить следующую задачу: если известны все ситуации (а.. s.) и все возможные результаты y(afi $) для них, то какую наилучшую стратегию а из возможных А стратегий следует применить в операции, чтобы результат оказался наилучшим?

В такой постановке задачу можно решить, если только сначала определить, что следует понимать под словами «наилучший результат в условиях природной неопределенности». Из теории игр знаем, что такое гарантированный результат и на основании какого принципа он получен. Мы можем здесь увидеть полную аналогию с теорией игр. К слову, раздел ТПР, занимающийся принятием решений в условиях природной неопределенности, называют «игры с природой». Название в большей степени, так сказать, историческое и обусловлено представлением о неопределенности ситуации как полностью враждебной. Но тем не менее оно дает ответ на вопрос: с чего начать анализ игры с природой? Ответ такой: с того же, с чего начинали анализ антагонистических и неантагонистических игр - с редуцирования матрицы игры, которое состоит в отбрасывании доминированных строк и столбцов.

Первые попытки разработки методического аппарата и методов анализа игр с природой восходят к началу 50-х годов XX в. Все они могут быть отнесены к типу эвристических, поскольку авторы формировали эти подходы и методы на основе наблюдений за практическими ситуациями, а затем аппроксимировали результаты выбора в виде специальных принципов оптимальности. Каждый из этих принципов, хотя и бессистемно, учитывал какие-то особенности личности ЛПР.

Затем, вплоть до конца 80-х годов XX в., практически не наблюдалось никаких изменений в методологическом подходе. Крупные экологические катастрофы и экономические потрясения, политические провалы начала 90-х годов XX в. вновь заставили предпринимателей и политиков потребовать от ученых вернуться к вопросам методологии. Нужно было на основе накопленных знаний сформировать новые представления о том, что такое «наилучшее решение» в условиях априорной неопределенности. Потребовалось с системных позиций выяснить, чем руководствуются в принятии решений наиболее успешные из бизнесменов, чем в настоящее время отличаются методы работы удачливых менеджеров больших финансовых систем? Не менее интересно, на что ориентируются проницательные биржевые аналитики, брокеры, риелторы, работники диспетчерских служб аэропортов, операторы служб и систем охраны и лица других профессий, большинства из которых не было еще в середине 50-х годов XX в. Оказалось, что часто перечисленные лица интуитивно чувствуют степень возможности того или иного исхода, даже могут описать эти чувства в терминах шансов. Иногда они ощущают меру риска через ожидание больших потерь или больших выигрышей, иногда они субъективно стремятся застраховаться или, наоборот, уловить удачную конъюнктуру.

Особую роль в решении рисковых задач играют интуиция менеджера и инсайд. Интуиция представляет собой способность непосредственно, как бы внезапно, без логического продумывания находить правильное решение проблемы. Интуитивное решение как внутреннее озарение, просветление мысли раскрывает суть изучаемого вопроса. Интуиция является непременным компонентом творческого процесса. Психология рассматривает интуицию во взаимосвязи с чувственным и логическим познанием и практической деятельностью как непосредственное знание в его единстве со знанием опосредованным, ранее приобретенным. Инсайд - это осознанное решение некоторой проблемы. Субъективно инсайд переживают как неожиданное озарение, постижение. В момент самого инсайда решение осознается очень ясно, однако эта ясность часто носит кратковременный характер и нуждается в сознательной фиксации решения.

Практическое использование классических методов анализа «игр с природой» оказалось затруднено именно в силу недостаточной проработанности вопросов, связанных с отождествлением того или иного из таких методов анализа решений с личностью ЛПР и его отношением к риску. При этом описания классических методов практически не содержали информации о том, какой из них более адекватно отражает те или иные особенности системы предпочтений ЛПР.

Таким образом, можно выделить два этапа развития методов и технологий для анализа решений в условиях природной неопределенности: классический и современный. По этой же причине все методы и технологии условно разделим на классические и современные, учитывающие несколько характеристик личности ЛПР.

Анализ всей доступной информации о том, какими соображениями руководствуются подобные ЛПР, когда они принимают ответственные решения в условиях, сходных с «природной» неопределенностью, позволил выдвинуть ряд гипотез о восприятии нестохастического риска. На основе таких гипотез затем были предложены критерии оценки характеристик личности ЛПР и сформированы технологии принятия решений в условиях «природной» неопределенности.

Изложение полученных результатов анализа решений в условиях подобного механизма риска проводится в рамках единой терминологии, поскольку, как оказалось, классические и современные методы «игр с природой» укладываются в единую методологическую схему. Наша цель - построение формальных моделей принятия решений, которые предприниматель может использовать на практике.

Введем понятие риска для случая природной неопределенности. Определим такой риск как «плату» за возможность получения наиболее благоприятного исхода в операции. Таким образом, в качестве наказания за принятие рискованного решения выступает угроза получения неблагоприятного исхода. В соответствии с таким определением риск можно оценивать, например, величиной разности между наиболее и наименее предпочтительными результатами для каждой из возможных стратегий или величиной разности между текущими результатами и уровнем притязаний. Напомним, что ранее под уровнем притязаний мы договорились понимать любой результат, достижение которого отождествляется в сознании ЛПР с конечным успехом. Например, уровень притязаний менеджеры часто расценивают как самый лучший результат из возможных при данных обстоятельствах. Брокеры иногда считают, что это некоторый вполне конкретный результат между худшим и лучшим при данных обстоятельствах или даже любой не самый худший. Это, возможно, объясняется тем, что брокер «живет с продаж», а за все риски, по сути, отвечает клиент.

Применительно к задачам принятия решений в условиях неопределенности можно ввести следующие характеристики отношения ЛПР к нестохастическому риску:

  • несклонное к риску - это ЛПР, которое опасается много проиграть, и поэтому при оценке возможных стратегий в первую очередь обращает внимание на величины связанных с ними наихудших результатов; иными словами, если при анализе ситуаций и принятии решений предприниматель главное внимание сосредоточивает на величинах результатов, а среди них - только на значения неудовлетворительных исходов, то он, скорее всего, не склонен рисковать в условиях «природной» неопределенности;
  • склонное к риску - это ЛПР, которое боится мало выиграть и поэтому при оценке возможных стратегий в первую очередь обращает внимание или на величины связанных с ними наилучших результатов, или на величины потенциальных потерь; если при анализе ситуаций и принятии решений предприниматель главное внимание сосредоточивает на величинах наилучших из возможных результатов, а также стремится в обязательном порядке оценивать величины возможных сожалений, то он, скорее всего, относится к лицам, склонным к нестохастическому риску в «игре с природой»;
  • безразличное к риску - это ЛПР, которое придает одинаковый вес как наилучшим, так и наихудшим результатам, учитывая возможные промежуточные результаты; таким образом, если при анализе ситуаций и принятии решений предприниматель одинаково внимательно оценивает и очень плохие, и очень хорошие результаты, и величины сожалений для ситуаций, т.е. подвергает ситуации всестороннему взвешенному анализу, то ему, пожалуй, можно считать себя взвешенно относящимся к «природному» риску.

Итак, рассмотрим классические методики анализа «игр с природой» в рамках введенных допущений, определений и формальных обозначений. Напомним, что в каждой ситуации (а, s.) игры предпочтительность исхода экономической операции оценивается предпринимателем скалярной величиной у(а, s.) прибыли, которую он стремится максимизировать.

Предположим, что предприниматель рассматривает вопрос о поставке в следующем году партии определенного товара на рынок. Он понимает, что выгодность этой коммерческой операции зависит и от того, к какой стратегии интервенции на рынке аналогичных товаров он прибегнет, и от того, какой будет конъюнктура на рынке аналогичных товаров (объемы поставок, уровень спроса, время экспозиции товара, цена на единицу товара и др.). По заказу предпринимателя маркетинговая служба провела исследования перспектив рынка аналогичных товаров и выявила четыре его возможных состояния у. е 5, различающихся по предпочтительности для продвижения собственных объемов товара и сопровождающих его услуг. С целью максимизации величины у(а., s.) прибыли для каждого из этих возможных состояний рынка были разработаны четыре стратегии а. е А продвижения товаров и услуг.

После этого предприниматель поставил задачу перед аналитическим департаментом предприятия оценить величины у(а, 5.) прибыли для каждого из возможных состояний (а, s'). Результаты расчетов величин прибыли у(а., s) в рублях для каждой из стратегий торговли и всех состояний рынка аналогичных товаров представлены в табл. 11.2.

Таблица 11.2

Стратегии тор-говли

Возможные состояния рынка аналогичных товаров и услуг (руб.)

$2

*3

*4

32 065

34 980

20 405

2915

а2

29 150

20 405

34 980

8745

аз

11 660

23 320

17 490

14 575

аА

20 405

40 810

2915

20 405

Предприниматель поставил руководителю аналитического департамента задачу вначале произвести оценку предпочтительности этой, достаточно компактной совокупности стратегий торговли. Затем на основании анализа полученных результатов служащим аналитического департамента надлежало разработать предложения для принятия решений. В этих предложениях должны были присутствовать базовые предпосылки, на основе которых были сделаны те ли иные выводы (т.е. информация о том, какую систему предпочтений аналитики заложили в модель принятия решений), а также практические выводы и конкретные рекомендации для принятия решений. Если ни одна из имеющихся альтернатив не будет признана наилучшей для принятия решений, то аналитическому департаменту совместно с маркетинговой службой надлежало разработать дополнительные варианты или предложить новые стратегии продвижения товара на рынке.

Получив задачу, начальник аналитического департамента решил вначале для оценки предпочтительности стратегий использовать классические критерии выбора. Для этого прежде всего требовалось описать характеристики личности ЛПР и его отношение к «природному» риску.

Чтобы продемонстрировать работу классических критериев, мы в нашем примере будем последовательно выдвигать гипотезу об этих элементах предпочтений ЛПР для принятия им предпринимательских решений.

Критерий Вальда. Таким критерием обычно руководствуется ЛПР, которое при выборе решения абсолютно не приемлет риск. ЛПР оценивает каждую из альтернатив а е Л гарантированным для нее результатом у (a)ming(at, Sj), представляющим собой то худшее из возможного, хуже чего не будет для этой альтернативы ни при каких обстоятельствах. После этого наилучшей считают альтернативу а*, выбранную по уже знакомому нам принципу «лучшее из худшего»:

а' : maxminyia5.) .

аеА seS * !

I J

Другое название метода Вальда - «максиминный критерий» - обусловлено видом правой части формального выражения для него. В табл. 11.3 представлены гарантированные результаты для каждой стратегии в нашем примере и значение наибольшего гарантированного результата, равного 11 660 руб. Это результат соответствует стратегии ау

Таблица 11.3

Стратегии торговли

Характеристики стратегий по критерию Вальда

Г арантированные результаты, руб.

Наибольший гарантированный результат, руб.

*1

2915

аг

8745

аз

И 660

11 660

2915

Предприниматель, который абсолютно не склонен к риску, считает себя крайним пессимистом, уверен, что для него неуспех операции крайне нежелателен независимо от того, какими могут быть другие, благоприятные исходы, скорее всего, должен выбирать именно такой критерий принятия решений.

Если наш предприниматель именно таков, то ему следует присмотреться только к стратегии торговли и для нее оценивать предпочтительность намеченного стратегического плана торговли. В зависимости от того, как сложится конъюнктура на рынке в будущем, эта стратегия может принести ему прибыль в размере или 11 660 руб., или 23 320 руб., или 17 490 руб., или 14 575 руб., но не меньше, чем 11 660 руб. Если такая картина предпринимателя устраивает, ему следует принять именно эту стратегию а3, поскольку она совсем не рискованная в смысле получения наибольшего гарантированного результата. Таким образом, доходчивость и логичность критерия Вальда, простота вычислений для принятия решения - это его достоинства. Однако известно, что именно эти свойства критерия наибольшего гарантированного результата иногда превращаются в его самый значительный недостаток, если применять его формально. Чтобы показать, как это происходит, предположим, что матрица результатов содержит всего две строки и четыре столбца состояний «природы», как это представлено в табл. 11.4.

Таблица 11.4

Стратегии

sx

*2

S4

*1

0,99

1000

1000

1000

аг

1

1

1

1

Гарантированный результат в табл. 11.4 для стратегии бг1 равен 0,99, а для альтернативы а2 он равен 1,0. Следовательно, формально по критерию Вальда наилучшей следует считать альтернативу аг Но на самом деле каждому понятно, что с точки зрения не формального, а практического бизнеса результаты 0,99 и 1,0 - это одно и то же. Поэтому формально получается, что мы выбираем стратегию, которая для всех связанных с ней ситуаций дает один и тот же результат. А вот для стратегии практически такой же результат получается только в одной из связанных с ней ситуаций, а в остальных своих ситуациях эта стратегия на три порядка лучше, чем стратегия аг И об этой формальной стороне критерия Вальда нужно постоянно помнить. Таким образом, этот критерий принимает во внимание только наихудшие значения для конкретной стратеги и, а то, какие по величинам наилучшие результаты дает эта же стратегия и сколько таких «лучших» результатов у нее, он, критерий, вообще не принимает во внимание.

Критерий Сэвиджа. Это критерий ЛПР, склонного к риску, являющегося крайним пессимистом. Здесь используют не результаты у(ар sj), а так называемое сожаление от неиспользованных возможностей. По замыслу автора, величина «сожаления» вычисляется для каждой возможной ситуации как разность между наилучшим при данном состоянии природы результатом и всеми текущими для этого состояниями. Обозначим «сожаление» в ситуации (a, s,) через z(a., s.). Тогда формальное выражение для величины сожаления в ситуации (я, s}) выглядит следующим образом:

:(а s) = ma.xy(ai,s') -у(а s ),

1 J арА '

т.е. из наилучшего результата таху(а, s) для фиксированного состояла’ ' 7

ния 5 природы вычитаем текущий результат у(ар s ) для этого состояния, и полученная разность характеризует величину недовольства, «сожаления» ЛПР о своем необдуманном поступке. После того как для всех ситуаций сожаления вычислены, мы можем заменить матрицу |[у/?.|| результатов уЦ > sj) на матрицу ||zj| величин сожалений z(a, зр. Получим матрицу сожалений для ситуаций нашего примера. Почему может сожалеть думающий предприниматель? Потому только, что он знал, как нужно поступить, но не поступил (почему-то). Как это соотносится с нашим примером? Предположим, предприниматель точно знает, что конъюнктура на рынке товара сложится в точности как в s состоянии «природы». Тогда он выберет наилучшую из его стратегий, чтобы получить наибольшую прибыль. Формально это означает, что нужно найти в столбце наилучший результат. Применив эти рассуждения к исходным данным нашего примера, мы увидим, что наилучший результат 32 065 руб. дает применение стратегии а{. Если же предприниматель применит для этого же состояния рынка иную стратегию, например а2, то получит прибыль всего 29 150 руб., т.е. он потеряет 2915 руб. и будет сожалеть о своем нерациональном поступке. Следовательно, если мы вычтем из наилучшего результата в столбце 5] все остальные результаты этого же столбца, мы получим для этого столбца величины z(a, s) сожалений в рублях. Нулевое по величине сожаление будет только для ситуации (а., з). Затем так же можно вычислить сожаления и для остальных состояний рынка. Матрица сожалений представлена в табл. 11.5.

Таблица 11.5

Стратегии тор-говли

Возможные состояния рынка аналогичных товаров и услуг

S2

0

5830

14 575

17 490

а2

2915

20 405

0

11 660

аз

20 405

17 490

17 490

5830

*4

11 660

0

32 065

0

Далее Сэвидж предложил для оценки пред почтительности альтернатив проводить анализ так же, как в методе Вальда:

• для каждой альтернативы я. получить оценку гарантированного, т.е. наибольшего, сожаления:

z~(a) : maxz(a, s');

  • s F S J
  • • найти наилучшую альтернативу а, обеспечивающую ЛПР наименьшее гарантированное сожаление:

а : minmaxz(a.9 s.) .

аеА seS ' !

) i

В соответствии с записанным формальным правилом критерии Сэвиджа называют также критерием минимаксных сожалений. В табл. 11.6 представлены значения гарантированных сожалений.

Таблица 11.6

Стратегии торговли

Характеристики стратегий по критерию Сэвиджа

Гарантированные сожаления, руб.

Наименьшее гарантированное сожаление, руб.

17 490

17490

а2

20 405

аг

20 405

а4

32 065

Итак, мы видим, что наилучшей по критерию Сэвиджа является стратегия ау! Это противоречит тому, что мы получили, когда использовали критерий Вальда, но не должно удивлять. Было бы гораздо больше подозрений, если бы оценки по столь разным критериям в результате совпали. Ведь эти критерии для разных по своим устремлениям ЛПР: критерий Вальда - для того, кто боится много проиграть, а критерий Сэвиджа для того, кто боится мало выиграть. Но в принципе совпадения результатов применения разных критериев возможны.

Поскольку теоретической основой обоих рассмотренных нами критериев является принцип наилучшего гарантированного результата (для критерия Вальда - сам результат, а для критерия Сэвиджа - сожаление), основные достоинства и недостатки у критерия Сэвиджа те же, что и у критерия Вальда. Но есть у критерия минимаксных сожалений и специфический недостаток. Дело в вычислении величин сожалений по ситуациям. Поэтому критерий Сэвиджа чувствителен к составу исходного множества альтернатив. Пусть игра с природой моделируется матрицей, представленной в табл. 11.7.

Таблица 11.7

Стратегии

S2

".

а

1000

аг

1

1

При этом пусть 0 < р < а < 1. Тогда сожаления для указанной матрицы результатов будут такими, как это отображено в табл. 11.8.

Таблица 11.8

Стратегии

si

S2

1-а

0

а,

0

999

Наименьшие гарантированные сожаления, равные 1-а, обеспечивает стратегия av которая и является наилучшей для рассматриваемого примера.

А теперь пусть число стратегий увеличили, и матрица гипотетической игры (см. табл. 11.7) приобрела вид, представленный в табл. 11.9. Достаточно просто убедиться, что решение в подобной игре неустойчиво к добавленной «посторонней» альтернативе и зависит от того, останется ли она в числе стратегий ЛПР или нет.

Таблица 11.9

Стратегии

S2

а

1000

а,

1

1

ах

1000

?

Таким образом, эта матрица получена из матрицы предыдущего примера с добавлением еще одной строки для стратегии ау По матрице результатов с добавленной альтернативой вычислим значения сожалений (табл. 11.10).

Таблица 11.10

Стратегии

*1

".

1000-а

0

а,

999

999

0

1000-0

Получается, что критерий Сэвиджа выделяет в качестве наилучшей стратегию а,, хотя если по какой-либо причине стратегия ау не сможет быть реализована, то наилучшей будет альтернатива ау а а2 перестанет быть наилучшей. Следовательно, критерий Сэвиджа не обладает свойством независимости (устойчивости) от «посторонних» (дополнительных) альтернатив. Это очень важно помнить, если вы решите дополнять перечень уже имеющихся альтернатив какими-то новыми.

Критерий Гурвица используют для следующих элементов системы предпочтений ЛПР: оно безразлично к риску и является реалистом. В качестве количественной характеристики для каждой стратегии предпринимателю рекомендуется использовать величину у(ар у), которая формируется в виде линейной функции наихудшего (пессимистического) и наилучшего (оптимистического) для нее значений прибыли. Для этого используют специальный коэффициент пессимизма-оптимизма, называемый также коэффициентом Гурвица. Обозначим этот коэффициент через у. Значения коэффициента выбирают из диапазона [0; 1] по правилу:

  • • у = 0, если ЛПР считает, что состояние «природы» в операции будет самым благоприятным (оптимистический прогноз);
  • • у = 1, если ЛПР считает, что состояние «природы» в операции будет самым неблагоприятным (пессимистический прогноз);
  • • 0 < у < 1, если ЛПР считает, что состояние «природы» в операции будет не самым плохим, но и не самым благоприятным.

Каждую альтернативу оценивают взвешенным результатом вида

V , у) = у ‘ miny (a, s ) + (1 - у) • таху (аг 5.) .

i i

Затем наилучшую альтернативу а' отыскивают обычным порядком, т.е. максимизацией величин у(а., у): а*: s) ? Легко заме

тить, что если у=0, то модель выбора по критерию Гурвица отражает предпочтения ЛПР, руководствующегося правилом «все сложится самым удачным образом» (крайний оптимист)', если у=1, то сразу получается критерий Вальда, который моделирует крайне пессимистичное отношение ЛПР к возможным условиям проведения операции.

Значение коэффициента у может быть назначено ЛПР эвристически из интервала [0; 1] или это значение можно оценить с использованием специальных процедур, сходных с процедурами определения субъективных вероятностей.

Определим наилучшую по критерию Гурвица стратегию для нашего примера. В табл. 11.11 представлены значения линейной функции X#-, у) Гурвица при значении коэффициента пессимизма-оптимизма у, равного 0,2.

Таблица 11.11

Стратегии торговли

Характеристики стратегий по критерию Гурвица

Величинах#, У), РУ^-

Наибольшее значение результата по Гурвицу, руб.

28 567

аг

29 733

20 988

а4

33 231

33 231

Таким образом, по критерию Гурвица наилучшей оказывается стратегия ау Понятно, что наилучшим это решение может быть признано только тем предпринимателем, который считает себя нейтрально относящимся к риску относительно возможности получения как наилучших, так и наихудших результатов, т.е. реалистом. Кроме того, он считает, что возможности таких альтернативных исходов не одинаковы, поэтому придает больший вес оптимистичному исходу, а не пессимистичному. Причем эта его личная уверенность достаточно сильна, в связи с чем значение величины у - коэффициента пессимизма-оптимизма, называемого также коэффициентом Гурвица, составляет величину 0,2. Если бы предприниматель придавал таким исходам одинаковый вес - принял бы у=0,5, то получилось бы две оптимальные по Гурвицу стратегии а, и а4, а если бы он был более пессимистично настроен (у=0,8), наилучшей оказалась бы стратегия ау

Заметим, что критерий Гурвица может не различать явно различающиеся по предпочтительности стратегии в силу того, что каждой из них ставит в соответствие оценку, которая является линейной комбинацией только наихудшего и наилучшего результата для альтернатив. Поясним это на следующем примере. Пусть игра с природой описывается матрицей, представленной табл. 11.12.

Таблица 11.12

Стратегии

s2

*3

*1

0

0

1000

0

а,

1000

999

999

0

Стратегии и а2 существенно отличаются по предпочтительности, так у первой альтернативы только один ненулевой исход, а у второй их три (весьма значительные по величине). В то же время у них одинаковые наилучшие (равные 1000) и наихудшие (равные 0) результаты и, следовательно, по критерию Гурвица эти альтернативы эквивалентны. Но для практики, разумеется, вторая стратегия лучше первой.

Критерий Лапласа-Бернулли. Это критерий для ЛПР, несклонного к риску, и являющегося реалистом. В его основу положена концепция недостаточного основания Лапласа и принцип рандомизации, о котором мы также уже говорили. Согласно концепции недостаточного основания, если нет никаких оснований полагать, что какие-либо из п возможных состояний природы более возможны по отношению к другим, то их целесообразно полагать субъективно равно возможным и, т.е. имеющими одинаковую p(s) = - субъективную вероятность появления. После этого, опираясь на принцип рандомизации, считаем ситуацию случайной и применяем критерий наибольшего среднего результата. В итоге критерий Лапласа-Бернулли принимает вид

а' : max М {ai) = max о,еИ 7 о,еЛ

w /=}

Результаты расчетов величин средней субъективно ожидаемой прибыли для стратегий торговли представлены в табл. 11.13.

Таблица 11.13

Стратегии торговли

Характеристики стратегий по критерию Лапласа-Бернулли

Величины средней субъективно ожидаемой прибыли, руб.

Наибольшее значение величины средней субъективно ожидаемой прибыли, руб.

22 591,25

а2

23 320

23 320

16 761,25

*4

21 133,75

Расчеты для исходных данных нашего примера показывают, что наилучшей по критерию недостаточного основания Лапласа-Бернулли следует считать стратегию аг

Для наглядности и в качестве промежуточного итога сведем результаты применения всех классических критериев в табл. 11.14, где наилучшая стратегия отмечена звездочкой в строке для соответствующей стратегии торговли.

Таблица 11.14

Стратегии торговли

Результаты применения классических критериев

Вальда

Сэвиджа

Гурвица

Лапласа-

Бернулли

У = 0,2

У = 0,5

У = 0,8

Л1

*

*

*

*

аг

*

*

*

Теперь в дополнение к рассмотренным классическим критериям приведем несколько новых критериев принятия решений в условиях природной неопределенности. Первый шаг на этом пути - модификация классического критерия путем ослабления его очевидных недостатков.

Модифицированный критерий Гурвица. Основная идея модификации состоит в том, чтобы при оценке каждой альтернативы помимо наименее и наиболее предпочтительности результатов присутствовали бы и промежуточные. В итоге критерий принял вид

а : тахха, у) ,

«,€ А

1 п

при ограничении — У v(a., s.)> упМГТЯ1 у

П j-i

где - установленный ЛПР уровень притязаний по среднему арифметическому из величин возможных результатов для альтернатив.

Предположим, ур**7» =22 000 руб. При таком значении уровня притязаний только для первых двух альтернатив выполняется условие превышения средних арифметических значений результата над уровнем притязаний. Значения средних арифметических результатов составляют 22 591,25 руб. и 23 320 руб. соответственно. В этом легко убедиться, рассмотрев данные для результатов применения критерия

Лапласа-Бернулли. Среди стратегий-претендентов наилучшим значением линейной функции Гурвица у(а, у) = у • miny(a,s) + (1 - у) • $.€ S '

wavy(a?, sy) обладает вторая стратегия (28 567 руб. - у первой стратегии и 29 733 руб. - у второй). Таким образом, а = аг

Модифицированный критерий Сэвиджа. При модификации введено расширенное толкование понятия «сожаление». Если субъектом движет желание коренным образом изменить ситуацию, добиться существенного выигрыша в ней, пусть даже ценой каких-то потерь, то «риск» - это просто плата за возможность получения наиболее благоприятного исхода в операции, а «сожаление» - мера подобно трактуемого риска. В результате в дополнение к классическому понятию «сожаления» предложено измерять его также и величиной разности между уровнем притязаний и текущим результатом. Поэтому вполне возможно, что могут быть получены «сожаления» как со знаком плюс, так и со знаком минус. Иными словами, отрицательное сожаление означает «значительный успех», выраженный в превышении полученного результата над выбранным уровнем притязаний. А далее все просто: использован тот же подход, что и в модифицированном методе Гурвица -введено понятие «уровень притязаний по сожалениям». Обозначим эту величину через znp,rn”. В итоге такой модификации получаем критерий вида

а*: minmaxz(a, s ) aek s&S J J J

1 * при ограничении — .

" j=i

Пусть в рамках рассматриваемого нами примера зприта’=9000 руб., т.е. при сожалениях, не превышающих 9000 руб., предприниматель готов рассматривать кандидатов на звание лучшей стратегии. Оказывается, что среднее арифметическое значение сожалений для стратегий только в одном случае удовлетворяет уровень притязаний по величинам сожалений. Только для стратегии а, величина среднего арифметического ее сожалений составляет 8745 руб., а у трех остальных стратегий эта величина выше порогового значения в 9000 руб. Поэтому у предпринимателя нет выбора - перед ним дилемма: или он будет руководствоваться стратегией а2, или и ему предстоит расширить множество альтернатив и при этом постоянно помнить, к чему может привести добавление «посторонних» альтернатив.

Разумеется, это не все модификации классических методов, а лишь их часть.

Однако имеются новые критерии, позволяющие напрямую оперировать предложенными формальными характеристиками личности ЛПР.

Критерий субъективно средних результатов соответствует предпочтениям ЛПР, несклонного к риску, являющегося разумным оптимистом. Такое ЛПР оценивает состояния природы величинами результатов, но рассматривает результаты через призму субъективного восприятия состояний природы. Субъективные вероятности состояний природы принимаются пропорциональными суммарным результатам для каждого состояния «природы». Согласно этому критерию лучшей следует считать ту стратегию, которая приводит к максимальному субъективно среднему результату:

а '-max

причем субъективные вероятности р() определяются по формуле:

р ($ у) = ——----------•

Г ' >' п т

& f=1

При тех исходных данных, которыми мы оперируем в общем для анализа примере, значения субъективных вероятностей р(з^) конъюнктуры рынка составят:

p(S) = 0,28,р(52)=0,36,р(53)=0,23 и/?(uV4)=0,14.

Окончательно величины субъективно средних результатов для стратегий получаются равными тем, которые представлены в табл. 11.15.

Таблица 11.15

*1

а,

аз

*4

26412,43

24511,35

17540,7

23725,57

Таким образом, по критерию субъективно средних результатов наилучшей является стратегия аг дающая в среднем прибыль в 26412,43 руб.

Предположим теперь, что ЛПР склонно к риску и является разумным оптимистом. В таком случае оно, скорее всего, оценивает ситуации величинами сожалений и намерено измерять субъективные вероятности возможных состояний «природы». Величины субъективных вероятностей состояний природы вычисляем пропорционально суммарным результатам для каждого состояния, а сам критерий - его можно назвать критерием средних субъективных сожалений - выглядит так:

а' 'min. ’

причем величины р(.) субъективных вероятностей определяют по формуле:

P(S;} =

.-1

>1 j-1

В нашем примере величины субъективных вероятностей для этого критерия те же, что и для предыдущего критерия. Умножив их на соответствующие ситуациям величины сожалений z(a, s.), получаем величины средних субъективных сожалений, указанные в табл. 11.16.

Таблица 11.16

а1

а,

аз

а4

7807,13

9708,217

16 678,87

10 494

Минимальное сожаление соответствует применению стратегии аг

Критерий субъективной вероятностной гарантии характерен для ЛПР безразличного к риску, который может указать субъективные оценки p(s}) вероятностей состояний природы в числовой форме, а также требуемый уровень результата (уровень притязаний). Критерий рекомендует лучшей считать ту стратегию, которая приводит к наибольшему значению вероятности получения результата не хуже требуемого:

a*: max Ур(л.),

где S(a{ / ур,тп) = {$, | у(ар s}) > у"р,гпо} - те состояния природы, для которых результат применения стратегии а оказался лучше уровня упРмт>з.

Предположим, анализируя с помощью экспертов возможные уровни конъюнктуры рынка аналогичных товаров, предприниматель оценил попарно возможные состояния $ рынка и применил процедуру определения субъективных вероятностей через вербальные высказывания типа «более вероятно», «равновероятно», «менее вероятно». Результаты оценки составили:

p(s{)= 0,38,p(s2)=Q,36,р(х3)=0,20 ир(54)=0,06.

Уровень притязаний у"Ржтяз по результатам оценки установлен в 30 000 руб. Используя значения прибыли для ситуаций, найдем те, для которых результаты превышают 30 000 руб. (табл. 11.17).

Таблица 11.17

Стратегии тор-говли

Возможные состояния рынка аналогичных товаров и услуг

p(s})= 0,38

р(.У2)=0,36

р(53)=0,20

p(V=0,06

ах

32 065

34 980

а2

34 980

аз

аА

40 810

Анализ данных табл. 11.17 показывает: для первой стратегии вероятность получения результата, превышающего установленный уровень уф"™’ —30 000 руб., составляет p(sl)^-p(s^)= 0,38+0,36=0,74; для стратегии а2 вероятность этого события равна /?(у3)=0,20, для стратегии а3 вероятность превышения уровня притязаний равна нулю, а для стратегии - p(s2)=0,36. В итоге по критерию субъективной вероятностной гарантии наилучшей следует признать стратегию а}.

Критерий субъективно ожидаемой полезности моделирует выбор ЛПР, которое не только может указать субъективные вероятности состояний природы в числовой форме, но и получить для оценки результатов свою индивидуальную функцию полезности для рассматриваемых условий. Эмпирическая функция uN(y} для оценки полезности результатов у в условиях «природного» риска имеет вид степенной зависимости

=у,

где у - нормированные результаты операции;

а - параметр функции, и трансформирует значения нормированных результатов операции в отрезок [0;1]. Нормирование результатов проводят по линейной зависимости вида

v - у* ~у**

у" —у". ’

- max Z тт

где у" - результат в натуральной шкале;

Утл - минимальный из результатов для всех си

туаций в натуральной шкале;

Ут^ а^' та* y(ansj) - максимальный из всех результатов в натуральной шкале.

Параметру а функции устанавливают значения из следующей шкалы:

  • 0,125 -если существенная несклонность к риску;
  • 0,5-если незначительная несклонность к риску;

а = 1,0 - если взвешенное отношение к риску

  • 2,0 - если незначительная склонность к риску;
  • 5,0 - если существенная склонность к риску.

В итоге наилучшей следует считать ту стратегию а*, которая характеризуется наибольшей ожидаемой субъективной полезностью результатов:

а' :тах j)‘UN(y(ai, s)) a.eA

Применим этот критерий для сравнения стратегий, предполагая, что а=5. Предварительно вычислим нормированные значения величин прибыли (в табл. 11.18).

Таблица 1J.J8

Стратегии тор-говли

Возможные состояния рынка аналогичных товаров и услуг

S2

*3

0,731

0,804

0,440

0,004

а2

0,658

0,440

0,804

0,149

<*3

0,222

0,513

0,367

0,295

«4

0,440

0,949

0,004

0,440

Значения величин функции uN(y) = у“ полезности предпринимателя сведены в табл. 11.19.

Таблица 11.19

Стратегии тор-говли

Возможные состояния рынка аналогичных товаров и услуг

*1

*4

0,51

0,62

0,17

0,00

ai

0,40

0,17

0,62

0,02

аз

0,04

0,23

0,11

0,07

а4

0,17

0,89

0,00

0,17

Теперь остается вычислить ожидаемую субъективную полезность.

Результаты вычислений сведены в табл. 11.20.

Таблица 11.20

ai

а2

аз

0,45

0,32

0,13

0,39

Таким образом, с использованием введенных понятий (тип личности, отношение к «природному» риску) оказалось достаточно легко привести классические и современные методы анализа «игр с природой» в стройную систему, а также сформулировать сравнительно простые правила для процедуры подбора критерия, который наиболее адекватно отражает особенности принятия решений конкретным ЛПР в условиях «природного» риска.

При этом наиболее общие рекомендации по применению критериев таковы:

  • • критерием Вальда следует руководствоваться предпринимателю, который считает себя крайним пессимистом и, кроме того, абсолютно не склонен рисковать в рассматриваемой экономической операции;
  • • критерий Сэвиджа минимаксных сожалений следует рекомендовать для оценки предпочтительности альтернатив тому предпринимателю, который хотя и относит себя к классу пессимистов, но в данной операции весьма заинтересован в ее результатах и очень опасается упустить выгодный шанс, мало выиграть;

критерий Гурвица пессимизма-оптимизма хорош для тех предпринимателей, которые взвешенно относятся к риску в условиях «природной» неопределенности и могут, хотя бы качественно, оценить меру собственного пессимизма или оптимизма; для таких лиц, принимающих решения, авторы рекомендуют для коэффициента у (коэффициент пессимизма-оптимизма Гурвица) назначать значения по правилу:

о Y - 0,7, если «крайний пессимист»;

о у ~ 0,55 ...0,65, если «разумный пессимист»;

о у < 0,3, если «крайний оптимист»;

о у ~ 0,35 ...0,45, если «разумный оптимист».

критерием Лапласа-Бернулли следует руководствоваться ЛПР, которое несклонно к риску и считает себя реалистом.

Решите следующие транспортные задачи (здесь А - вектор мощностей поставщиков, В - вектор мощностей потребителей, С - матрица транспортных издержек на единицу груза):

6

7 3 5

а) А = (100; 150; 50), С =

1

2 5 6

7

9

10 20 1

В = (75; 80; 60; 85),

ч.

Г 4 1 2

4 4 7

б) А = (300; 350; 150; 200),

С =

1 3 1

В = (400; 400; 200),

<14 3.

в) А = (20; 30; 40; 20), С =

В = (40; 40; 20).

Решите задачи линейного программирования графическим методом:

  • 1. = 2х{ + х2 —*? min;
  • 2. W(X) = х( - Зх2 —? min;

х,+х2<12, 2х,-х2<12, 2х,-х2>0, 2х, + х2>4,

х2 > 0.

i.v2<6

  • -2х,+х2<6, х, + 3х2>-3, х,-2х2<2.
  • 3. frK(A) = 4х, - Зх2 —? max;
  • 8x,-3x2>0, 5х, -6х2<0.
  • 5. W(X) = х( + 2 —? max;
  • 4. W(X) = - х, + 4х2 —> min;
  • 2х, + Зх2 < 24, -8х, + Зх2 < 24, 2х,-Зх2<12, 4х, +Зх2>-12.
  • 6. l?(X) = Зх(2 —> max;

х2<6, -Зх,+х2<12, х, + х2 > 0, х,-х2<0, х, + 2х2<12.

2х, + х2 > -4,

х,+х2>0, х, + 2 > 2,

7. IV(X) = Зх, + 2 -> min; 8. IV(X) = 2х, + 5х, -> min;

X, + Х2 > 0, Зх( + х2 < 3, 5х + 4х, > 20, х,-х2>0.

2Х'2>0, ( + х2<16, -2х, + 5х2>3, 7х1+22<2.

”Д 0<*

i^ = sx + i'x^ix-lxz)

> = SX-|A^ + :X + 'x-

  • *? = Vx- *X+ zx- 'x
  • •W/Ш <- -X + *X? + fXe - Zxz + 'X? = CyU1 ’SI

J — f

’A 0< x

‘/,1= x+^x-^+'x^

b f 7 I

9 = X + VX+CX?+ 'X9-

'qq- = Jx - rx - cx + - 'x

4- % - *X? + ?X? - :Xg - 'x? = (Y)^ H

Д0<*

?t7? = sx + ^x+x + zx-,x$

> = $х + гх-гх^+ 'x^-

‘91 =t’x+x+zx|7-,xt7

_ SX? + hx- X? + 'x9 = (x)At TI

0 < ly>| 0<гх<0<'х

‘?>Ч-'Г1 4?>/х+Ч I

  • 48 > + 'x- Г ‘9 > Z*c - ’*? Г
  • 40>Ч-'-г? 4cI>^Z + 4-

Упш i- :xt + '* = (XUl Zl -XDUt z*c + 'ч- = (Х)Л1 II

> > :x + 'xt^^

0<гх40<'х tl>Z4-'4 481>/x? + 'x CL > "4 + ‘x-, lv

C > X + xc-

xdui 4- гх^ + '* = (У)Л1 ’01 :4 + '-Y = (?141 ’6

J —f

'A 0< *

‘l = SX + fX-ZX?- 'x? ‘H = sx + ,x + ?x+:x? + 'x

XDUl <- SX? + ”x - ?X? + гЛ'9 - 'x = (Y)^ -SI

  • 4g = t’x + cx + ^-,x<:
    • 48I =sx + ex-^ + ’A7 4^ = -X + ”x^ - X3 - ZXL + 'x-

щШ sx^ + hx$ - X3 + zxp - ’xj I = CYUl ’Ll

'A 0<^

t? = ‘,X+?X-ZX? 4|7 = 5хз-,’х + гх-|х? = SX - rX + ?x - :xc + 'x

XDUl SX? + VXl + ?X? + zxL 4- *X? = (Y)^ *91

Решите симплексным методом следующие задачи линейного программирования:

  • 1. = х, - х2 + Зх3 - х4 —> max;
  • * -х, + 2х2 + х3 = 2,

" Зх, - 2х2 + х4 = 6, ху>0,7 = 1,2,3,4.

2. W'U) = -1 lx, - 2 + 8х3 + 2х4 -> min;

' х,+л, -л,-4,

  • - -2x, + 2x}+x4 = 10, x>0,j- 1,2, 3,4.
  • 3. И'(Х) - х, + 2 + х34 —? max;

' x,+2х, i х, = 3,

I 2х.+х, + х =4, I 2 4

xy>0J= 1,2, 3,4.

4. IV(X) = -3x, - 5x2 + x3 + x4 —> min;

Г -2x{ + 3x2 + x3 = 6,

i -x, +3x2-x4 = -3,

X}>0,; = 1,2,3,4.

5. = 2x, - 3x2 + 5x3 —? max;

" -x,+2x2 + 3x3<3,

” -2x,+ 3x2+x3>-4, xy>0J= 1,2,3.

6. HZ(A) = -4x, - 2x, + x3 -* min;

" 3x,-2x2 + 4x3<6, 2x,+x2+3x3< 18,

x> 0,7= 1,2,3.

in

ГС

13. W'(A') - -ЗХ] - 2 - 2х3 —* min

СП

Составьте двойственные задачи для следующих задач:

IV(X) = + 4х, + х3 -х, + 2х2 + х3<4, Зх, 2+2х3<9, 2х, +Зх23>6,

—* max;

х} >0,7= 1,2,3.

2. И'(Х) = 2х( + х2 - х3 Г 2х,+х2}>5, ?

т in;

х, + 2v,-I л3<7,

I W-

  • -v >0,7= 1,2,3.
  • 3. IV(X) = 2х(3 + х4 —> max;

Зх, +Зх23 + х4= 12,

1 4х. + 5х,+ 2х,+х = 18, I 2 3 4

X. >0,7 = 1,2,3,4.

  • 4. РГ(Л') = 4х( + 1 Зх2 + Зх3 + 6х4 —> min;
  • 5х, -Зх, + х-2х = 1, 1 I 2 3 4
  • 1-4х2+2х3-Зх4 = 6,
  • -х >0,7 = 1,2,3,4.
  • 5. IV(X) = Зх( + 2 + Зх3 —> max;

х> 0,7= 1,2,3.

  • 6. ^(Л) = 2х(2 + 2х3 " х( + 23>2,
  • -2х,+х2+2х3 = 2, 2х, +х2-2х3<6,

х.> О,/ =1,2,3.

  • 7. И'(Л) = 2.г,+x2 I 3.v3 Г Х,+Х3<4,
  • 2х,+х2=4, Зх, + 2 - 2х3 > 2,

х.> 0,у =1,2,3.

8. = х( - х2 - 2х3 —> min;

X{-X2-Xy>i, -2х, + 3х2= 1, -Зх, + 4х2+2х3< 1,

х> 0,7= 1,2,3.

  • 9. С помощью метода Лагранжа найдите условный экстремум функционала W:
    • а) W = Х|Х2 при X]2 + х2 =2;

х,+х2=2,

б) W= х, + х2 при

г х,,х2 >0;

1 1 1

В) W= Xj+Х2 при— +---1-

Xj х2

10. Сетевой график с указанием продолжительности работ в днях приведен на рисунке:

Требуется:

  • а) Про нумеровать события.
  • б) Выделить критический путь и найти его длину.
  • в) Определить резервы времени каждого события.
  • г) Определить полные резервы времени некритических работ.

Решите задачи нелинейного программирования:

  • 1. Найдите максимальное значение функции F- х(х, при условиях:
  • (+4х2>12, 2х, + Зх2<24, -Зх1 + 4х2< 12, х„х2>0.
  • 2. Найдите минимальное значение функции F = 9(х( - 5)2 + 4(х, - 6) при условиях:

Зх, + 2> 12, *.-х,<6,

I х2<4, х„х2>0.

3. Найдите максимальное значение функции F -( + Зх, при условиях:

л2 -2х, 22-2х2-34<0,

Х,>1,

Х2>1.

4. Найдите максимальное значение функции F = х(х, при условиях:

х2 +2х, +Х2 -2х,- 14 > О, 2х,+х2<10, х,,х2>0.

Составьте математические модели задач:

5. На развитие предприятий отрасли на планируемый год выделено 220 млн руб. Эти средства могут быть распределены между тремя предприятиями. Каждый вариант распределения обеспечивает к концугода определенный доход отрасли. Учитывая возможные варианты распределения капитальных вложений между предприятиями и получаемый при этом доход, определите такой вариант распределения капиталовложений, при котором доход отрасли является максимальным.

Предприятие

Размер капиталовложений (млн. руб.)

Доход (тыс. руб.)

Размер капиталовложений (млн руб.)

Доход (тыс. руб.)

Размер капиталовложений (млн руб.)

Доход (тыс. руб.)

1

От 10 до 30

14,3

От 30 до 60

16,2

60 и более

17,2

2

От 10 до 40

13,5

От 40 до 70

17,8

70 и более

18,3

3

От 10 до 50

18,4

От 50 до 80

19,3

80 и более

19,4

  • 6. Между «-предприятиями отрасли необходимо распределить выпуск некоторой однородной продукции. Затраты, связанные с производством х(/ = 1,л?) единиц продукции на /-предприятии, зависят от объема производства и определяются функциями Дх,). Зная, что продукции должно быть изготовлено не менее b единиц, составьте такой план производства продукции предприятиями отрасли, при котором общие затраты, связанные с ее производством, минимальны.
  • 7. В /и-пунктах отправления сосредоточена однородная продукция в количествах, равных а...,а единиц. Эту продукцию нужно перевезти в п пунктов назначения в объемах, равных d(, b2,...J)n единиц. Цены, связанные с перевозкой единицы продукции, зависят от объемов перевозимой продукции и определяются функциями Д(хД где xtf (J = 1,/и; / = 1,/?) количество единиц продукции, перевозимой из /-пункта отправления в /-пункт назначения. Определите, сколько единиц продукции из /-пункта отправления в /-пункт назначения следует доставить, чтобы вся продукция была перевезена в пункты назначения в необходимых объемах при минимальной общей стоимости перевозок.

Найдите условные экстремумы функций:

Г= X2 + Х22 + х3 при условиях

x.+.v, i=4,

  • 2х,-3.х,= 12.
  • 2. f= х{х?ху при условиях

{2х(х2 + хгх3 = 12,

  • 2х, - л2=8.
  • 3. /= Х(Х2 + хтху при условиях

Г Х,+Х2=4,

L х2 + х3 = 4.

4. f= Зх2 + 2х( + 2х; + 4х2х3 при условиях

Гх^+2х22=19,

L х! +2x2x3 = 11.

5. /= Х^^з при условиях

Г х,+х2 + х} = 5,

I хЛ + хЛ + хЛ-8.

  • 6. Найдите максимальное значение функции/ = х^х* при условии х( + х, + х3 = 18.
  • 7. На двух предприятиях отрасли необходимо изготовить 200 изделий некоторой продукции. Затраты, связанные с производством х( изделий на I предприятии, равны 4х2 руб., а затраты, обусловленные изготовлением х, изделий на II предприятии, составляют 20х, + 6х2 руб. Определите, сколько изделий на каждом из предприятий следует произвести, чтобы общие затраты, обусловленные изготовлением необходимой продукции, были минимальными.
  • 8. Изготовление некоторой продукции в производственном объединении можно осуществить двумя технологическими способами. При I способе изготовление X] изделий требует затрат, равных aQ + а1х( + clx2. руб., а при II способе затраты на изготовление х2 изделий составляют bQ + b{x2 + Ьтх22 руб. (я0, яр я,, bQ, Ь{, Ь2 - некоторые положительные числа). Составьте план производства продукции, согласно которому должно быть произведено d изделий при наименьших общих затратах.

Найдите решение следующих задач целочисленного линейного программиро вания:

  • 1. F = 7х( + х, —? max;
  • 9х, + 4х2 + х3 = 110,
  • 11х,-3х,-х4 = 24,
  • |-7х25 = 110,

х > 0, х. - целые (/ = 1, 5).

2. F = - 5х, + 8х, - Зх. + 4х. + 7х. + 6х, —? max;

I 2 3 4 5 6

  • - 2х, - Зх2 - 4х3 + 2х4 + х5 + х6 < 24, Зх, + 2 + Зх3 + х4 + 2х56< 30,
  • - 4х -х, - 5х, + Зх. + х. + 2х, < 60.
  • 0 < х.< 10, х. - целые (/ = 1, 6).
  • 3. F = 60х, + 70х, + 120. 4х, + 1 ЗОх, -> max;
  • 12-3 4 f

X, + .V, I х}4= 16,

х( + 1 ,85х2 + х3 + х4 < 16,

Х2 1.-10

( + 6,9х2 + 10х3 + 13х4 < 100, 6,3х, + 5х, + 4х + Зх < 100.

’I 2 3 4

х. > 0, х. - целые (j = 1, 4).

4. F = 5х. + 2х. - Зх. + 2х. + Зх. - Зх. —*? max;

I 2 3 4 5 0

  • ) + 6х2 + 4х3 + 4 - Зх5 + 5х6 = 11, 5х, + 5х, + 7х, + Зх. + Зх. = 10,
  • 2х, + 2 + 2х3 + Зх5 = 4,

х. > 0, х. - целые (/ = 1,6).

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

  • 1) По каким признакам осуществляется классификация методов оптимизации?
  • 2) Как осуществляются вербальная и математическая постановки задачи линейного программирования?
  • 3) Каковы основные правила перехода к двойственным задачам линейного программирования?
  • 4) В чем заключается идея метода Гомори для полностью целочисленных задач линейного программирвания?
  • 5) Сформулируйте математическую постановку транспортной задачи линейного программирования.
  • 6) Какими методами решаются многопродуктовые транспортные задачи?
  • 7) Какими методами можно решать задачи нелинейного программирования?
  • 8) В чем состоит идея решения задач сетевого планирования и управления?
  • 9) Какие методы существуют для принятия управленческих решений в условиях природного риска?
  • 10) В чем состоит суть критерия Вальда?
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >