Спектр собственных частот панели
Проведем исследование спектра собственных частот и форм в зависимости от величины жесткости упругого основания 7. Уравнение собственных колебаний относительно форм колебаний (?) имеет вид
- - (тг4ш2 - 7)^ = 0. (16.7)
- (*s
Напомним, что здесь частоты отнесены к низшей собственной частоте шарнирно опертой удлиненной пластины при цилиндрическом изгибе.
Решение краевой задачи на собственные значения (16.7) с граничными
условиями
^ = оприе = оие=1 ас,
дает выражение для собственных частот в виде
(16.8)
Формы собственных колебаний будут следующими: <рп(?) = sin(n7r?).
Результаты вычислений по формуле (16.8) для первых четырех собственных частот, рассматриваемых как функции жесткости основания, приведены на рис. 16.3.
Теперь рассмотрим собственные колебания панели на упругом основании с учетом сжимающего усилия а. Уравнение собственных колебаний в этом случае можно записать как
- 1 d4
2
- (16.9)
- (16.10)
- — ~~Т + “о -~Г - I W--т I = 0.
- 7Г4 d?4 7Г2 dC.2 7Г4 / '
Собственные частоты определятся по формуле
ссте — п4 - ап2 + .
V 7Г4
Из этой формулы можно получить выражение для сжимающего усилия а, при котором совпадают соседние частоты, т. е. шп — w„+i:
а = п2 + (n + I)2 = 2n2 + 2n + 1.
Таким образом, при а — 5 совпадают первая и вторая собственные частоты, при а — 13 совпадают вторая и третья собственные частоты и т. д. Очевидно, что это свойство является следствием зависимости формы потери устойчивости от жесткости упругого основания и так называемого особого случая, которым называют случай совпадения форм потери устойчивости с формами собственных колебаний. Особенностью системы является также то, что при соответствующем значении параметра а кратность частот имеет место при всех возможных значениях жесткости основания.
Указанные выше значения сжимающего усилия а соответствуют точкам перелома на кусочно-линейной зависимости критического усилия от жесткости основания «*(7) на рис. 16.2. Конечно, при этом жесткость упругого основания должна быть не меньше, чем та, при которой происходит потеря устойчивости. Что касается форм колебаний, то они остаются теми же самыми: 9?n(C) — sin(n7r?).
Рис. 16.4
Рис. 16.4, построенный для случая а — 3, иллюстрирует снижение частот при наличии сжимающего усилия и сближение первой и второй собственной частоты, которые становятся кратными при а — 5 (рис. 16.5), но соответствующими различным формам колебаний с одной и двумя полуволнами синусоиды.
