Основы молекулярной физики и термодинамики

Молекулярно-кинетическая теория идеального газа

«Молекулярно-кинетическая теория (МКТ) идеального газа» План:

  • 1. Основные положения молекулярно-кинетической теории.
  • 2. Идеальный газ и его параметры.
  • 3. Основное уравнение МКТ.
  • 4. Экспериментальные газовые законы.
  • 4.1 Закон Бойля-Мариотта.
  • 4.2 Закон Гей-Люссака.
  • 4.3 Закон Шарля.
  • 5. Абсолютный нуль.
  • 6. Уравнение состояния идеального газа.
  • 7. Работа при изобарическом процессе.
  • 8. Уравнение Менделеева-Клапейрона. Физический смысл универсальной газовой постоянной (R).
  • 9. Закон Дальтона.
  • 10. Законы статистического распределения молекул по скоростям
  • 1.

Молекулярная физика - раздел физики, изучающий строение и свойства вещества исходя из молекулярно-кинетической теории (МКТ), которая опирается на следующие положения:

  • 1. Все тела состоят из молекул.
  • 2. Молекулы находятся в хаотическом тепловом движении.
  • 3. Молекулы взаимодействуют между собой.

Первое положение МКТ подтверждается тем, что в настоящее время при помощи электронного микроскопа получены фотографии молекул.

Второе положение можно подтвердить диффузией и броуновским движением.

Диффузия - явление перемешивания веществ или проникновение молекул одного вещества в межмолекулярное пространство другого.

Броуновское движение - движение мельчайших частиц, находящихся во взвешенном состоянии под действием молекул окружающей среды (цветочная пыльца, раствор туши, частицы пыли в воздухе и т. д.).

Интенсивность броуновского движения пропорциональна температуре окружающей среды.

2.

В МКТ пользуются понятием идеальный газ, который удовлетворяет следующим условиям:

  • 1. Объем занимаемый молекулами газа мал по сравнению с объемом сосуда.
  • 2. Молекулы газа не взаимодействуют друг с другом.
  • 3. Столкновения друг с другом и со стенками сосуда абсолютно упругие.

Идеальный газ характеризуется следующим параметрами:

V - объем. Газ полностью занимает объем сосуда, в котором находится;

р - давление.Обусловлено ударами молекул о стенки сосуда;

[р] = гн1

= [Па].

LmzJ l j

t - температура - степень нагретости тела. Определяется кинетической энергией поступательного движения молекул.

Температура измеряется по следующим температурным шкалам:

1.

Международная практическая шкала, градуированная в градусах Цельсия (°C). Измеряется температура по нескольким шкалам, имеющие реперные точки при нормальном атмосферном давлении: точка плавления льда - О °C; точка кипения воды - 100 °C.

2.

Термодинамическая шкала, градуированная в кельвинах (F) или абсолютная шкала температур: Т = t + 273: точка плавления льда - 273 точка кипения воды - 373 К.

3.

Шкала Фаренгейта: точка таяния льда равна +32 °F, а точка кипения воды +212 °F.

3.

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа устанавливает зависимость между давлением (р); объемом (V) и кинетической энергией поступательного движения его молекул.

Для вывода формулы рассмотрим одноатомный идеальный газ, находящийся в цилиндрическом сосуде с площадью основания AS и длиной 1 (рис. 56).

Молекулы движутся хаотически и беспорядочно, их количество N. Определим давление, оказываемое газом на площадку AS.

Р = ?, (8.1)

где F - сила, которая может быть выражена по второму закону Ньютона через импульс тела:

F = 5 (8.2)

где ДР - импульс.

Импульс одной молекулы равен: АР | = mi) - (-mu) = 2 mu . (8.3)

Общее количество молекул в сосуде будет равно:

N = n0-V= no-AS-1 = no-AS-y-At. (8.4)

Рис. 57.

Молекулы движутся к площадке под разными углами. Для упрощения расчетов предположим, что молекулы движутся вдоль трех взаимно перпендикулярных направлений, 1/3 молекул вдоль каждого направления, причем половина молекул (1/6) движется в одну сторону, половина в противоположную (рис. 57). С учетом этого до площадки AS дойдет 1/6 от N -общего числа молекул.

  • 1
  • (8.5)

Л/Д5 = -n0ASvAt

Рассчитаем импульс АР, сообщенный площадке AS этими молекулами.

С учетом уравнения (8.3) уравнение (8.5) примет вид:

АР = ^n0ASvAt • 2mv = |n0ASmu2At. (8.6)

Подставим значение АР из уравнения (8.6) в (8.2) и выразим силу F:

  • 1 mv2n0ASht
  • (8.7)
  • (8.8)
  • 3 At

Подставим правую часть уравнения (8.7) в уравнение (8.1):

lmipTinASAt 1 7

  • ---—7---= -muz?i0
  • 3AtAS 3 и

Молекулы в сосуде движутся со скоростями о2; ...и^,в этом случае рассматривают среднюю квадратичную скорость

N

С введением (икв) уравнение (8.8) перепишется в виде:

Р = |n0m(vKB)2 - (8.9)

основное уравнение МКТ идеального газа.

Умножив и разделив правую часть уравнения (8.9) на 2, получим другой вид данного уравнения:

р = |n0W2KB> =|п0к>, (8.10)

где (Ек) - средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул.

з По закону Больцмана (Ек) = -кТ, где k-постоянная Больцмана, Т -абсолютная температура.

Подставив значение (Ек) в (8.10) получим еще два вида основного уравнения МКТ идеального газа:

р = покТ (8.11)

Т. к. концентрация газа и0 = р то уравнение (8.11) перепишется в виде: р= ^кТ или pV = NkT (8.12)

4.

Рассмотрим законы, выведенные экспериментально и устанавливающие зависимость между р,У иТ.

4.1

Закон Бойля-Мариотта устанавливает зависимость между давлением и объемом при постоянной температуре. Запишем основное уравнение МКТ для двух состояний газа:

pxNx = NkT (8.13)

p2V2 = NkT. (8.14)

Так, как правые части уравнений (11.13) и (11.14) равны, приравняем левые:

РУ ~ Р1^2 р = Const.

Закон Бойля-Мариотта: произведение давления на объем данной массы газа есть величина постоянная при неизменной температуре.

Процесс, протекающий при Т = const называется изотермическим и изображается изотермой (рис. 58):

Pi

Рис. 58.

4.2.

Закон Гей-Люссака устанавливает зависимость между объемом и температурой при постоянном давлении Р12=Р.

Запишем основное уравнение МКТ для двух состояний газа:

^V^NkT! (8.15)

p2V2 = NkT2. (8.16)

Разделим почленно уравнение (8.15) на (8.16) и получим:

У1 = Т

(8.17)

К2 Т2

Закон Гей-Люссака: объем данной массы газа прямо пропорционален абсолютной температуре при постоянном давлении.

Закон Гей-Люссака через температуру по шкале Цельсия перепишется в виде:

V=V0(l + aZ),

где а = 1/2731С1 - коэффициент объемного расширения;

Vo- объем при О °C;

t- температура.

Процесс, протекающий при постоянном давлении называется изобарическими изображается изобарой (рис. 59).

Рис. 59.

4.3

Закон Шарля устанавливает зависимость между давлением р и температурой Т при постоянном объеме Vi=V2=V. Запишем основное уравнение МКТ для двух состояний газа:

PlV=NkT| (8.18)

p2V = NkT2 (8.19)

Разделим почленно (8.18) на (8.19) и получим:

Pi Т

Т = (8.20)

г г 12

Закон Шарля: давление данной массы газа пропорционально абсолютной температуре при постоянном объеме.

Через температуру по шкале Цельсия закон Шарля запишется

р=р0(1 + а/), (8.21)

где» = 1/2731, р0-давление при 0°С.

Процесс в газах, протекающий при постоянном объеме называется изохорным и изображается изохорой (рис. 60).

Рис. 60.

5.

Рассмотрим график изохорического процесса в координатных осях P-t (рис. 61).

При понижении температуры давление, производимое газом, будет уменьшаться. Запишем закон Шарля: у?=р0(1 + а/). (8.22)

Найдем температуру, при которой давление производимое газом Р = 0. 0=j90(l + «/)

РоФ 0,следовательно l + at= Q,at= -1 ~^>t = — = —273,16 °C. а

Абсолютный нуль - это температура, при которой прекращается поступательное движение молекул и давление производимое газом становится равным нулю.

6.

Запишем основное уравнение МКТ:

NkT, РУ

(8.23)

Разделим обе части равенства на Т: — = Nk, для данной массы газа

произведение Nk = const, следовательно

РУ

  • = const -
  • (8.24)

уравнение состояния идеального газа.

Произведение давления на объем, отнесенная к абсолютной температуре есть величина постоянная для данной массы газа (уравнение Клапейрона).

7.

1 Al 2

Рис. 62

Пусть 1 моль газа, находящегося в сосуде совершает работу, перемещая поршень на расстояние Л под действием силы F и переходит из состояния 1 в состояние 2 (рис. 62).

Работа А= F А1, выразим силу из формулы (8.1):

F р =-->F = p-AS,

AS

тогда работа A=P-AS-A1, но as-ai=av - изменение объема, следовательно:

А= р • AV = p(V2-VJ - (8.25)

работа идеального газа при изобарическом процессе.

8.

Закон Авогадро*. Один Моль любого газа занимает одинаковый объем при нормальных условиях. В одном Моле вещества число молекул всегда равно N А = 6,022 • 1023 —-— (постоянная Авогадро) моль

Запишем основное уравнение МКТ для одного моля газа:

pV/7 = NAkT, но NAk = R - универсальная газовая постоянная.

pV/z = RT - (8.26)

уравнение Клапейрона для одного моля газа.

Выразим универсальную газовую постоянную из уравнения (8.26):

nV

R = ^- (8.27)

Рассмотрим состояние газа при нормальных условиях: V = 22,4-10 3л/ Р = 105/7^у, 7 = 273/7. Если эти значения подставить в формулу (8.27), то Г, Q о 1 ДЖ получим: R = 8,31-------.

моль ? К

Запишем уравнение Клапейрона для 2-х состояний газа. Первое при температуре Г, второе при температуреТ+/°, т. е при нагреве газа на 1 °C.

PVj = RT (8.28)

PV2 = R(T +1) = RT + R (8.29)

Вычтем почленно из (8.29) выражение (8.28):

PV2 - PV, = RT + R- RT , PAV = R = A, T.K. A= PAV (8.27), TO R = A= 8,31- — . моль ? К

Физический смысл универсальной газовой постоянной:

R численно равна работе, которую совершает 1 моль газа при его нагревании на 1 К.

Запишем основное уравнение МКТ идеального газа: pV = NkT

Известно, что N = NA v, где v - число молей, NA - число Авогадро. m

v = —. где m - масса, ц - молярная масса.

Р

Подставим значения N и v в уравнение (8.23), получим:

pV = — n AkT. так как NAk = R. то

Р

хт ni

pV= —RT — (8.30)

Р

уравнение Менделеева-Клапейрона для любой массы газа.

9.

Пусть дан газ состоящий из смеси газов с концентрациями: Давление, производимое каждым газом в отдельности называется парциальным давлением: ррр2—Рп

Общее давление по основному уравнению МКТ р = nokT, газ перемешивается и с течением времени n0 = nt +n2 +... + пп, тогда р = (п, + п9 +... + п )кТ = п.кТ + п9кТ + ... + пкТ. JT V 1 Z П 7 1 Z п

Р = А + А + - + А- (8.31).

Закон Дальтона: общее давление смеси газов равно сумме парциальных давлений, производимых каждым газом в отдельности.

10.

Закон распределения Максвелла

При столкновениях скорость молекул идеального газа изменяется по величине и направлению. Однако из-за хаотического движения молекул все направления движения являются равновероятными, т.е. в любом направлении в среднем движется одинаковое число молекул.

По молекулярно-кинетической теории, как бы не изменялись скорости молекул при столкновениях, в газе находящемся в состоянии теплового равновесия, средняя квадратичная скорость движения молекул остается величиной постоянной. Это объясняется тем, что в газе устанавливается некоторое стационарное, т.е. не зависящее от времени, распределение молекул по скоростям, которое подчиняется некоторому статистическому закону. Этот закон был установлен Максвеллом.

При выводе закона распределения молекул по скоростям Максвелл предполагал, что газ состоит из очень большого числа тождественных молекул, находящихся в состоянии хаотического движения при постоянной температуре.

Для простоты рассуждений, без ущерба для точности, предположим, что скорости движения молекул удовлетворяют неравенству 0 оо . Изменение скорости при столкновениях происходит случайным образом. Однако можноутверждать, что скорости большинства молекул лежат вблизи некоторого наиболее вероятного значения (рис. 63).

Постановка вопроса о том, сколько молекул имеют заданную скорость, неимеет смысла, так как таких молекул может и не быть. Вопрос должен быть поставлен так: сколько молекул имеют скорости в интервале отодо v + dt), гдебц<<ц. Для решения этой задачи используется функция называемая функцией распределения молекул по скоростям. Функция f(y) определяет dN(p)

относительное число молекул —скорости которых лежат в интервале ото до v + di>.

Применяя методы теории вероятности. Максвелл нашел вид этой функции: 3 2

f(t>) = 4тг т‘ -ь>22кТ (8.32)

Из данной формулы следует, что конкретный вид функции f(t>) зависит от рода газа (иц) и от абсолютной температуры Т.

Максвелловское распределение молекул по скоростям характеризует распределение молекул по кинетическим энергиям при отсутствии внешних

силовых полей. Это распределение позволяет определить скорости молекул: -наиболее вероятная скорость', - средняя квадратичная скорость', - средняя арифметическая скорость.

  • 2RT
  • 3RT

М

8RT

О - У ----

N 7lM

Первое экспериментальное определение скоростей движения молекул было осуществлено в 1920 году Штерном. Эти опыты позволили оценить распределение молекул по скоростям.

Прибор, использованный Штерном для этой цели, состоит из двух коаксиальных цилиндров. По оси прибора была натянута платиновая нить, покрытая серебром. При нагревании нити электрическим током с ее поверхности испарялись атомы серебра. Покинувшие нить атомы серебра двигались по радиальным направлениям. Внутренний цилиндр имел узкую щель, через которую наружу проходил узкий пучок атомов серебра, которые оседали на внутренней поверхности внешнего цилиндра.

Если привести весь прибор во вращение с угловой скоростью со, то след, оставляемый атомами серебра, сместится по поверхности внешнего цилиндра на некоторое расстояние AS. Это произойдет потому, что за время пока атомы серебра пролетают зазор между цилиндрами, прибор успевает повернуться на некоторый угол А^.

п R бэ-R2 бэ-R2

Легко показать, что AS = со • R • t, а так как t = —, то AS =-----=> =-----.

и о AS

Измеряя на опыте угловую скорость вращения прибора со и смещения следа серебра AS, можно было определить скорость атомов серебра.

Результаты опытов Штерна подтвердили правильность оценки скоростей движения молекул и распределения Максвелла.

Закон распределения Больцмана. Барометрическая формула.

При выводе основного уравнения молекулярно-кинетической теории и максвелловского распределения по скоростям, предполагалось, что на молекулы газа внешние силы не действуют, поэтому молекулы равномерно распределены по объему. Однако молекулы любого газа находятся в потенциальном поле Земли. Тяготение с одной стороны, и хаотическое движение молекул - с другой, приводят к некоторому стационарному состоянию газа, при котором давление газа с высотой убывает.

На высоте h = 0 давление газар=ро, а на высоте h:

Mgh

Р = Ро*е RT (8.33)

Выражение (8.33) называется барометрической формулой.

Используя основное уравнение молекулярно-кинетической теории p=nkT его можно преобразовать к виду:

m,gh

п = п0 • е кТ (8.34)

Это выражение получило название распределения Больцмана. Оно характеризует распределение молекул по потенциальным энергиям во внешнем силовом поле.

Из формулы (8.34) следует, что с понижением температуры число частиц на высотах, отличных от нуля, убывает, обращаясь в нуль при Т=д. При абсолютном нуле все молекулы расположились бы на поверхности Земли. При высоких температурах, напротив, п слабо убывает с высотой, так что молекулы оказываются распределенными по высоте почти равномерно.

Этот факт имеет простое физическое объяснение. Каждое конкретное распределение молекул по высоте устанавливается под действием двух тенденций: притяжение молекул к земле (характеризуется силой mg) и хаотическое тепловое движение (характеризуется величиной кТ). Сила тяжести стремится расположить молекулы на поверхности Земли, тепловое движение -разбросать молекулы равномерно по всем высотам.

Больцман показал, что данное распределение справедливо не только в случае потенциального поля силы тяжести, но и в любом другом потенциальном поле сил (например, в поле центробежных сил инерции). Этот факт широко используется на практике в центрифугах, позволяющих разделять смеси частиц по массе.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >