Дифференциал второго порядка и матрица Гессе ФНП

Дифференциалом второго порядка называется дифференциал от дифференциала первого порядка. Обозначение d 2z.

Если функция z = f(x; у) имеет непрерывные частные производные второго порядка, то дифференциал второго порядка можно найти по формуле:

  • 2 (dz dz Л (dz dz
  • (dz dz
  • •dx4---dx4---dy

, dx dy

•dy =

d z = с--dx 4---dy =--dx 4---dy

a2z л a2z л , —- • dx 4---dy • dx 4-

a2z ) •dx4--y-dy -dy.

Тогда

,2 d2z 2 . 9 d2z 52z 2 ( d d

d z = —y-dx 4-2--dxdy4--y-dy = —dx4--dy z.

(31)

dx

Сравнение выражений для дифференциалов первого (29) и второго (31) порядков через оператор дифференцирования позволяет методом индукции записать выражения и для дифференциалов высших порядков'.

d3z= —dx4--dy -z,..., dnz= —dx4--dy

• z, где n e N. (32)

дх

k dx dy J dx dy

Выражение для дифференциала второго порядка (31) функции

z= f (х12,...,хп), имеющей непрерывные частные производные второго порядка, можно представить в виде

  • 11 П A2 7 d2z = V V-----dx. dx..
  • (33)
  • ??ахд

Правая часть этого выражения представляет собой симметричную квадратичную форму относительно дифференциалов независимых переменных dx1,dx2,...,dxn. Квадратичную форму можно задать её матрицей.

Матрицей Гессе Н называется матрица квадратичной формы, элементы

которой являются вторыми частными производными

где i = l,n, j = l,n.

62z dXjdXj

f d2z

d2z

d2z

А.

^21

hJ2

h22

  • - V
  • •• A

Эх2

52z

  • 3X]6x2
  • 52z
  • 6xj6xn
  • 52z

н =

=

3x26X]

dxf

Эх2

2 n

Л,

hn2 ‘

•• h-nj

52z

52z

52z

bx„axj

dxndx2

n 2

Эх2

GXn 7

Определитель матрицы Гессе называется Гессианом.

(34)

Задания для решения в аудитории:

1) Найти полные дифференциалы функций:

  • 1.2. z = 1п(1+ ех + у2)
  • 2) Вычислить приближенно с помощью дифференциала:
  • 2.1. 1,962008
  • 2.2. 71,022+0,0012
  • 3) Найти матрицу Гессе и Гессиан функции z = 2x2 +3ху + 5у2 -Зх + 8у-11 в точке М(1;2).

Частные производные высших порядков

Пусть z = f(x, у) есть функция двух переменных хну. Частными производными второго порядка функции f (х, у) называются частные производные от ее частных производных первого порядка, если они существуют.

Частные производные второго порядка обозначаются следующим образом:

Аналогично определяются и обозначаются частные производные более высокого порядка. Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по нескольким различным переменным, называется смешанной частной производной. Относительно смешанных частных производных имеет место следующая теорема.

Теорема. Две смешанные частные производные одной и той же функции, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой при условии их непрерывности.

a3z

Пример 1. Найти частную производную -----= z"'z от функции

дхдудх xyz

z = ex(cos у + xsin у).

Решение.

dz

— = ex(cos у + sin у + xsin у),

дх

z ( <9z Y

---= — =ex(cosy-sin у+xcosy), дхду дх)

a-’z (a2z Y

------= ---- = ех (2cos у - sin у + xcos у). дхдудх l^dxoy Jx

Задания для решения в аудитории:

Найти вторые частные производные функций:

1. z = х4 +5х2у2 +6ху-7.

2. z = x3y2 + xsin у.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >