Неявные функции и их дифференцирование

Пусть F - дифференцируемая функция трех переменных х, у и z, и пусть уравнение F(x, y,z) = 0 неявно определяет, например, z как функцию не

зависимых переменных х и у. Тогда для отыскания z' = — зафиксируем у и дх

потребуем выполнения равенства для частных дифференциалов

Fxz (x, у, z)dx + Fzz (x, у, z)dz = 0, откуда

& = Fx(x, y,z) ^7)

дх Fzz(x, у, z)

Аналогично можно получить формулы

dz _ Fy(x, y,z). dy _ Fx(x, y,z).

ду Fzz(x,y,z)’ Эх Fy(x, y,z)’

^ = -Ffryz). (28)

Sz Fy(x, у, z)

Пример 1. Найти частные производные — и —, если z3 - 4ху2 - 2z2 +1 = 0. дх ду

Fxz(x,y,z) = -4y2, Fy(x, y,z) = -8ху, Fzz(x,y,z) = 3z2-4z.

На основании (28) получаем

dz _ Fx(x, у, z)_ 4у2 . dz _ Fyz(x, y,z)_ 8xy

дх Fzz(x, у, z) 3z2 — 4z dy Fzz(x, y, z) 3z2 — 4z

Найти частные производные функции: -2zxy2’ +2xz2 + x у2 =0

Полное приращение и дифференциалы ФНП

Пусть дана функция двух переменных z = f (х; у). Наряду с частными, вводят понятие полного приращения функции

Az = f(x + Ax;y + Ay)- f(x;y),

при котором ее аргументы х и у получают соответственно приращения Ах и Ау.

Геомегрически полное приращение Az равно приращению аппликаты г рафика функции z= f(x; у) при переходе из точки Р0(х; у) вточку Р(х + Ах; у 4- Ау).

Полный дифференциал функции z = f(x; у) в данной точкелгазывасгся главная часть полного приращения этой функции, линейная огпосигелыю дифференциалов независимых переменных dx и dy. то есть

, dz dz I d , d Л dz = —dx4--dy = —dx4--dy z.

(29)

Здесь использована также символическая запись дифференциала через оператор дифференцирования.

Геомегрически дифференциа г функции равен ее приращению г го касательной плоскости в данной точке. Очевидно, что для конечных приращений аргументов Az dz, т.е.

А А X Г/ df A df А f(х +Ах;у +Ay) - f(x;y)^—Ах + —Ау. dx dy

Однако, при Ах —> 0 и Ау —> О Az —> dz . Указанный предельный переход используется в приближенных вычислениях значений функций в окрестности заданных точек.

При относительно малых приращениях аргументов можно полагать Az « dz, тогда

f(x + Ax;y + Ay)= f(x;y) + Af « f(x;y) +—Дх +—Ду. (30)

dx dy

Пример 1. Найти полный дифференциа г функции z = д/х2 4- у2 .

, dz л dz х , У .

dz = — dx 4--dy = . dx 4- . dy.

Яу cfi /2.2 /2.2

CX oy X 4- у ^x+y

Пример 2. Вычислить приближенно с помощью дифференциала 0,95 2(B .

Представим вьражснис в виде функции двух переменных

(х-Ах)у+Лу ,где х = 1; Ах = -0,05; у = 2; Ау = 0,03.

Тогда с использованием формулы (30) получим

( х 4- Ах)у+Лу « ху 4- ухуЧ • Ах 4- ху In х • Ау;

О,95203 «I2 -2• I1 • 0,05 +11 • Ini • 0,03 = 1 -0,1 = 0,9.

При этом более точное значение О,95203 « 0,90111230...

Пример 3. Вычислить приближенно 1п(^/1,ООЗ + -(/0,998 -1).

Искомое выражение будем рассматривать как значение функции ln(Vх + Дх + ^/у+ Ду -1) при х = 1, у = 1, Дх = О,003, Ду = -0,002. Применяя формулу (30)

f (х + Дх, у + Ду) « f (х, у) + f/(x, у)Дх + f/(х, у)Ду,

получаем

f(x,y) = ln(Vl+Vi-l) = O,

f/(x , 1 11 1111

х ,У V^+Vy-i 3 Vx7 7i+Vi-i з Ti7 з’

z i ii i iii

Vx+Vy-1 4 4^7 Vi + x/i-1 4 4

Следовательно,

ln(VlO3 + ^098 -1)« 0 +1 • 0,003 + • (-0,002) = 0,0005.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >