ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ

Правила Лопиталя раскрытия неопределенностей вида 0/0 и ∞/∞

Пусть функции f (х)и непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки Xq и обращаются в нуль в этой точке: f (хо) = ^>(хо) = О. Пусть <^'(х) =?0 в окрестности точки .

Тогда, предел отношения двух бесконечно малых равен пределу отношения их производных, если последний существует.

f(x) f'(x)

lim—^ = lim-^ = l. (19)

x->xo (pyx) x->xo (x)

Замечания:

1. Правило Лопиталя (19) верно и в случае, когда функции f (х) и <^(х) не определены при х=х0,но limf(x) = 0 и lim^(x) = 0.

X—^Xq X—>Xq

2. Формула (19) справедлива и в том случае, когда х—>со

f(x) f'(x)

lim —- lim —. x^oo^?(x) x->°°^/(x)

3. Если производные f '(x) и ^(x) удовлетворяют тем же условиям, что и функции f (х) и ^(х) выражения (19), то правило Лопиталя можно применить еще раз:

lim

Х^Хо

f(x) f'(x) Г(х) -^4= lim—^4= lim— ^?(x) x->xo ^(x) x->xo X)

И Т.Д.

Пример 1. Найти lim----.

x->* xlnx

г X-1 0 г (x-1) r 1 1

lim----= — = lim-----— = lim------- 1.

x^> xlnx |_0j x >l(xlnxY X^lnx+1

л ~ tt ~ 1 -cos6x

Пример 2.Наити hm-----—

x->0 2x“

l-cos6x

0

6sin6x

0

lim---------=

= hm-----=

x^o 2x

0

x~+° 4x

0

  • 3,. 6cos6x л = — lim-------= 9.
  • 2 x^o 1

Раскрытие неопределенностей различных видов

Правило Лопиталя применяется для раскрытия неопределенностей вида о со

— и —, которые называют основными. Неопределенности вида 0• со,со-со, 1 , О ОС

оо°,0° сводятся к двум основным видам путем тождественных преобразований.

Пример 3. Найти lim(cos2x)x2 . х—Я) V 7

Решение: Имеем неопределенность вида I00. Логарифмируем выражение

1 1

A=(cos2x)x2, получим: In А=—lncos2x. Затем находим предел:

X

limln A=lim

х-Я) х-Я)

Ineos 2х

  • 2 X
  • —-—(-sin2x

= limcos2x-------

х^0 2х

tg2x о = -2 lim----= -2,

х^° 2х

т. е. lnlimA=-2. Отсюда limA=e2. и lim(cos2x)x2-2. х-Я) х-Я) X—Я) х 7

Задания для самостоятельной работы:

2.

lim х I

2х-2

In X

lim

x3 +1

sin2x _sinx

lim--------

4. *~>0 tgx

x-arctgx

lim----------

5. x->0 x

e

6. lim —

X—>CO X*

Исследование функций

Возрастание и убывание функции. Условия экстремума

Если дифференцируемая на интервале (a;b) функция f (х) возрастает (убывает), то f'(x)>0 ( f'(х)<0) для Vxg (a;b).

Необходимое условие экстремума* если дифференцируемая функция у = f (х) имеет экстремум в точке Xq , то ее производная в этой точке равна нулю: f'(xo) = O. Геометрически равенство f'(xo) = O означает, что в точке экстремума дифференцируемой функции у= f(x) касательная к ее графику параллельна оси Ох.

Отметим, что обратное утверждение в общем случае не является верным, т. е. если f '(xq) = 0, то это не значит, что х() - точка экстремума.

Кроме того, существуют функции, которые в точках экстремума не имеют производной. Например, непрерывная функция у = |х| в точке х = 0 производной не имеет, но точка х = 0 - точка минимума.

Непрерывная функция может иметь экстремум лишь в точках, где производная функции равна нулю или не существует. Такие точки называются критическими.

Критические точки

Рисунок 8 - Критические точки

Достаточное условие экстремумах если непрерывная функция у = f (х) дифференцируема в некоторой 3 -окрестности критической точки х() и при переходе через нее (слева направо) производная f'(x) меняет знак с плюса на минус, то Хд есть точка максимума; с минуса на плюс, то х() - точка минимума.

Достаточное условие экстремума

Рисунок 9 - Достаточное условие экстремума

Исследовать функцию на экстремум означает найти все ее экстремумы.

х з/-Пример. Найти экстремум функции у = — - V х

Решение: Очевидно, D(y) = R.

„ ' 1

Находим у = —

3

1 Vx-2

Производная не существует при х, = 0 и равна нулю при = 8 . Эти точки разбивают всю область определения данной функции на три интервала (—°о; 0), (0;8), (8 ; оо). Отметим на рисунке знаки производной слева и справа от каждой из критических точек.

+ - + _

о 8 З-'*' *

Следовательно, х( =0- точка максимума, уП1ах = у(о) = 0, и Хз=8 точка 4 минимума, ymin = у(8) -

Иногда бывает удобным использовать другой достаточный признак существования экстремума, основанный на определении знака второй производной.

Выпуклость графика функции. Точки перегиба

График дифференцируемой функции у = f (х) называется выпуклым вниз на интервале (a ;b), если он расположен выше любой ее касательной на этом интервале. График функции у = f (х) называется выпуклым вверх на интервале (a;b), если он расположен ниже любой ее касательной на этом интервале.

Точка графика непрерывной функции у = f (х), отделяющая его части разной выпуклости, называется точкой перегиба.

Если функция у = f(x) во всех точках интервала (a;b) имеет отрицательную вторую производную, т. е. f"(x)<0, то график функции в этом интервале выпуклый вверх. Если же f"(х) > 0 Vx g (а;b) - график выпуклый вниз.

Достаточное условие существования точек перегиба. Если вторая производная f "(х) при переходе через точку , в которой она равна нулю или не существует, меняет знак, то точка графика с абсциссой есть точка перегиба.

Пример. Исследовать на выпуклость и точки перегиба график функции у = х5 - х + 5.

Решение: Находим, что у' = 5х4 -1, у" = 20 х3. Вторая производная существует на всей числовой оси; у" = 0 при х = 0.

Отмечаем, что у" > 0 при х > 0; у" < 0 при х < 0.

Следовательно, график функции у = х5-х + 5 в интервале (-оо;0) выпуклый вверх, в интервале (0;8)- выпуклый вниз. Точка (0;5) есть точка перегиба.

Асимптоты графика функции

Асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении от начала координат этой точки по кривой. Асимптоты могут быть вертикальными, наклонными и горизонтальными.

Говорят, что прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции y=f(x), если limf(x) = oo? или lim f(x) = co, или lim f(x) = oo.

V 7 x—>a V 7 x->a-0 V 7 x^a+0 V 7

Обычно это точки разрыва второго рода.

Вертикальная и горизонтальная асимптоты

Рисунок 10 - Вертикальная и горизонтальная асимптоты

Наклонная асимптота

Рисунок 11 - Наклонная асимптота

Например, кривая у =---- имеет вертикальную асимптоту х = -1, так

х +1

2 2

как lim ----= +оо, lim ----= —оо.

х^-1+0 х + 1 х—>-1-0 х + 1

Уравнение наклонной асимптоты будем искать в виде

у = kx + b, (20)

где k = lim—, b = lim(y-kx). (21)

X—>СО X X—>00 v

Если хотя бы один из пределов (21) не существует или равен бесконечности, то кривая у = f (х) наклонной асимптоты не имеет.

В частности, если к = 0, то b = lim f (х). Поэтому у = Ь - уравнение гори-

Х->ОО V 7 зонталъной асимптоты.

Замечание: Асимптоты графика функции y=f(x) при х^-ню и х^-оо могут быть разными. Поэтому при нахождении пределов (21) следует отдельно рассматривать случай, когда х^-ню и когда х—>-оо.

Общая схема исследования функции и построения графика

Исследование функции у = f (х) целесообразно вести в определенной последовательности.

  • 1. Найти область определения функции.
  • 2. Найти (если это можно) точки пересечения графика с осями координат.
  • 3. Выяснить, является ли функция четной, нечетной или общего вида.
  • 4. Найти асимптоты графика функции.
  • 5. Найти интервалы монотонности функции.
  • 6. Найти экстремумы функции.
  • 7. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции.

На основании проведенного исследования построить график функции. Заметим, что приведенная схема исследования не является обязательной. В более простых случаях достаточно выполнить лишь несколько операций.

Пример. Исследовать функцию у = ——- и построить ее график. 1-х

Решение: Выполним все семь операций предложенной выше схемы исследования.

  • 1. Функция не определена при х = 1 и х = -1. Область ее определения состоит из трех интервалов (-оо;-1); (-1; 1); (1;+со), а график из трех ветвей.
  • 2. Если х = 0, то у = 0. График пересекает ось Оу в точке О(0;0); если у = 0, то х = 0. График пересекает ось Ох в точке О (0;0).

х

  • 3. Функция у =----- является нечетной, т. к.
  • 1-х

Следовательно, график ее симметричен относительно начала координат. Для построения графика достаточно исследовать ее при х > 0.

4. Прямые х = 1 и х = -1 являются ее вертикальными асимптотами. Выясним наличие наклонной асимптоты:

х

1 _ 2 1

k = lim-—— = lim---- = О

Х->ОО X Х->ОО | — X

(к = 0 при х^+оо и при х—>—сс)

b = lim|———z- —Ox = lim—г- = 0.

1-х J х->=° 1-х

Следовательно, есть горизонтальная асимптота, ее уравнение у = 0. Прямая у = 0 является асимптотой и при х -юо, и при х —> -со.

5. Находим интервалы возрастания и убывания функции. Так как

,( х Y 1(1-х2)-х(-2х)_ х2 + 1

U-X ) (1-х ) (1-х2)

то у > 0 в области определения, и функция является возрастающей на каждом интервале области определения.

х2 +1

  • 6. Исследуем функцию на экстремум. Так как у' =-------, то критиче-
  • (1-х2)

скими точками являются точки х, = 1 и Х2 = -1 (у' не существует), но они не принадлежат области определения функции. Функция экстремумов не имеет.

7. Исследуем функцию на выпуклость. Находим

Вторая производная равна нулю или не существует в точках х( =0, х2=-1,х3 = 1.На рисунке 12 представлена схема изменения знаков второй производной исследуемой функции. Точка 0(0,0) - точка перегиба графика функции. График выпуклый вверх на интервалах (-1;0) и (1;оо); выпуклый вниз на интервалах (-оо;-1)и (0;1).

График функции изображен на рисунке 13.

Рисунок 12

Задания для самостоятельной работы:

Построить графики функций

х3+4

2.

у = Зх2-2-х3

У = х4-4х2 + 3

  • 4 + х2

[-4, 2].

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >