ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ

Дифференциалом функции у = f (х) в точке х называется главная часть ее прирагцения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dy:

Геометрический смысл дифференциала

Рисунок 7 - Геометрический смысл дифференциала

dy = f'(x)dx. (14)

Дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.

Геометрический смысл дифференциала. Дифференциал функции у = f (х) в точке х равен приращению ординаты касательной к графику функции (dy= АВ, см. рис.7), когда х получит приращение Дх.

Пример 1. Найти дифференциал функции f (х) = Зх2 - sin(l 4- 2х).

Решение: По формуле dy= f’(x)dx находим

dy = (Зх2 -sin(l + 2х))'dx = (бх-2cos(l + 2х))dx.

Пример 2. Найти дифференциал функции у = ln( 1 + е10х) + л/х2 +1. Вычислить dy при х = 0.

Решение:

dy = (ln( 1 + е10х

+ 1 dx =

Юе10х х

l+e10x+7Z<

dx.

Подставив х = 0, получим

х=0

  • (10 >
  • --1-0 dx = 5dx.

Основные теоремы о дифференциалах легко получить, используя связь дифференциала и производной функции dy= Г (x)dx и соответствующие теоремы о производных.

Первый дифференциал функции у = f (х) определяется одной и той же формулой независимо от того, является ли ее аргумент независимой переменной или является функцией другого аргумента. Это свойство дифференциала называют инвариантностью (неизменностью) формы первого дифференциала dy = j/-dz/, еслид/ = /(г/), г/= ^?(х). (15)

Применение дифференциала к приближенным вычислениям

основано на приближенном равенстве, справедливом при малых Дх

dy. (16)

Подставляя в равенство (16) значения Ау и dy, получим

Ду = f(x + Ax)- f(x)« f'(x)Ax;

f(x + Ax)«f(x)+f'(x)-Ax, (17)

причем это равенство тем точнее, чем меньше Дх.

Формула (17) используется для вычислений приближенных значений функций.

Пример, Вычислить приближенно arctg 1,05.

Решение: Рассмотрим функцию f (х) = arctgx. По формуле (17) имеем: arctg( х + Дх)« arctgx + (arctgx У • Дх,

7 А X ЛХ

т. е. arctg( х 4- Дх)« arctgx 4---

1 + х

Так как х + Дх = 1,05, то при х = 1 и Дх = 0,05 получаем:

arctg 1,05 » arctgl + —^- = — + 0,025 «0,810.

1 + 1 4

Дифференциалы высших порядков

Дифференциал от дифференциала функции у = f (х) называется ее вторым дифференциалом (или дифференциалом второго порядка) и обозначается d2y.

d2y= f"(x)dx2. (18)

Здесь dx2 обозначает(dx)2.

Аналогично определяется и находится дифференциал n-го порядка: d3y = f”(x)(dx)3; d”y = d(d”~'y) = f(x)(dx)“.

Пример, Найти d2y, если у= е их - независимая переменная.

Решение: Так как у' = Зе, у" = 9е, то по формуле (18) имеем d2y = 9еб?г2.

Задания для самостоятельной работы:

  • 1.Найти дифференциал функции:
    • а) у = х3-Зх2+Зх;

в)

г = 2^>- sin 2(р

, а х

d —+ arctg— ;

Д)

ух a J

2. Найти d2y, если

cos5x

  • а)
  • б) y = sin43x

,, _ oarctgx3

  • в) У--5 г) y = 2tg3(x2+l)
  • 4. Вычислить приближенные значения выражений: a) arcsin0,51
  • 6)V15?8
  • в)1§46
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >