Дифференцирование неявно заданной функции

Если неявная функция задана уравнением F (х; у) = 0, то для нахождения производной от у по х достаточно продифференцировать это уравнение по х, рассматривая при этом у как функцию х, и полученное затем уравнение разрешить относительно у'.

Пример, Найти производную функции х3 + у3 - Зху = 0.

Решение: Функция у задана неявно. Дифференцируем по х равенство х3 + у3 - Зху = 0. Из полученного соотношения Зх2 + 3 • у2 у'- 3( 1 • у 4- ху) - О

  • 2
  • 2 , , 2 , у-х

следует, что у у -ху -у-х , т.е. у = ---.

У^-х

Дифференцирование функции, заданной параметрически

Пусть зависимость между аргументом х и функцией у задана параметрически в виде двух уравнений

x=x(t)

(10)

y=y(t)’

где t - вспомогательная переменная, называемая параметром.

Функцию у = f(x), определяемую параметрическими уравнениями (10), можно рассматривать как сложную функцию у =y(t), где t = $>(х) - обратная для х = x(t) функция. По правилу дифференцирования сложной функции имеем:

Ух = У,'-Ух или Ух=^7

(11)

Пример. Пусть

х = t3,

. Найти у'.

Э •'А

[у = Г.

2t 2

г о-.2 f л. r

Xj = 3t , yt = 2t, следовательно, yx - , t. e. yx = —.

В этом можно убедиться, найдя непосредственно зависимость у от х. Действительно, t = д/х. Тогда у = V?. Отсюда ух =

  • 2 2
  • -т=, т. е. у = — 3t

Логарифмическое дифференцирование

В ряде случаев для нахождения производной целесообразно заданную функцию сначала прологарифмировать. А затем результат продифференцировать. Такую операцию называют логарифмическим дифференцированием.

Пример 1, Найти производную функции

  • 2+2)-^/(х-1)3х
  • (х + 5)3

Решение: Можно найти у' с помощью правил и формул дифференцирования. Однако такой способ слишком громоздкий. Применим логарифмическое дифференцирование. Логарифмируем функцию:

3

In у = 1п( х2 4- 2) 4- —1п( х-1)4-х-31п(х4-5).

4

Дифференцируем это равенство по х:

  • 3 1 л о 1
  • • 2x4-----1-1 — 3--.
  • 4 х-1 х4-5
  • 1 , 1 “’у =т-т у х 4-2

Выражаем)/;

У'=У

ч х2 + 2 4(х-1)

3

Х4-5

т. е.

-1) е

.3

  • 3_ чх2 4- 2 4(х-1) х4-5

Существуют функции, производные которых находят лишь логарифмическим дифференцированием. К их числу относится так называемая степеннопоказательная функция у = и где u=u(x) и v = v(x) - заданные дифференцируемые функции отд:. Найдем производную этой функции:

In у = v-lnu,=> — • у'= v'-lnu 4-V- —-UZ,=> у'= у( v'-lnu 4-V- —-и'), у и и

т.е. у'= uv( v'-lnu 4-v — и'),

и

или (uv)' = uv-Inu -v'4-v-uvl -и'. (12)

Итак: производная степенно-показательной функции равна сумме производной показательной функции, при условии и = const, и производной степенной функции, при условии v = const.

Пример 2. Найти производную функции у = (sin2x^ +1.

Решение: Пользуясь формулой (12), получаем:

у' = (sin2x)x +1 -lnsin2x- 2х4-( х2 4-1 )(sin2x)x -cos2x -2 .

Производные высших порядков явно заданной функции

Производной п-го порядка (или n-й производной) называется производная от производной (п -1) порядка: у( п} ( у( 11-1.

Пример. Найти производную 4-го порядка функции у = sinx. Решение:

у'" = (-sinx) =

у'= (sinx) =cosx =

sin

-sinx = sm X

cos х = sin

yIV = (—cos x )' = sin x = sin( x 4---4).

Производные высших порядков неявно заданной функции

Пусть функция у = f(x) задана неявно в виде уравнения F (х; у) = 0.

Продифференцировав это уравнение по х и разрешив полученное уравнение относительно^', найдем производную первого порядка (первую производную). Продифференцировав по х первую производную, получим вторую производную от неявной функции. В нее войдут х, у и у'. Подставляя уже найденное значение у' в выражение второй производной, выразим у" через х иу.

Аналогично поступаем для нахождения производной третьего (и дальше) порядка.

Пример. Найти у'", если х2 + у2 = 1.

Дифференцируем уравнение х2 + у2 -1 = 0 по х: 2х + 2у - у’ = 0.

Отсюда у' = —. Далее имеем: У

-1-3у2-у' 3 ( x^l Зх

следовательно, у =------= —• — =—-.

У У I У) У

Производные высших порядков параметрически заданных функций

Из определения второй производной и равенства (11) следует, что

( у') ( у')

т.е. св)

xt X,

Аналогично получаем у'"х = Ух^ 1 , у^хх = Ух)х 1

x = cost, у = sint. ’

Пример. Найти вторую производную функции

Решение: По формуле (11)

, (sint Y cost

У>^-7 = —- = -ctgt.

(cost) -sint 1

Тогда по формуле (13): у" = = s^n t =--.

хх (cost)' -sint sin t

Задания для самостоятельной работы: 1.Найти производные данных функций.

У х

  • — = arctg —
  • а) х У б) ysinx = cos( х-у)

tg- = 5x в) X

У.

2 х

Г) У х = е

2.Найти производную 2-го порядка:

3.Найти вторую производную функций

t

х = cos — ,

< 2

у = t — sint.

4. Найти У', если: x-y + asiny = 0

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >