НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ

Непрерывность функции в точке

Функция у = f (х) называется непрерывной в точке xQ, если она определена в точке Хд и в ее окрестности; существует предел функции в этой точке, причем равный значению функции в этой точке, т. е.

lim f(x)= ЦхД (5)

Х^Хо

Или: функция у = /(х) называется непрерывной в точке , если она определена в точке х0 и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

lim Ду = 0. (6)

zlx->0

Функция у = /(х) называется непрерывной, в интервале (а, Ь), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Точки разрыва функции и их классификация

Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции. Они разделяются на точки разрыва первого и второго рода. Точка разрыва х() называется точкой разрыва первого рода функции y = f(x), если в этой точке существуют конечные односторонние пределы, т. е. lim f(x)=A]H lim f( х)= Д. При этом: х—»хо-О х->Хо+О

  • а) если Д = Д, то точка х() называется точкой, устранимого разрыва;
  • б) если Д * Д, то точка Хд называется точкой, конечного разрыва. Величину |д - Д| называют скачком функции в точке разрыва первого рода.

Точка разрыва х0 называется точкой разрыва второго рода функции у = /( х), если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

Точки разрыва

Рисунок 4 - Точки разрыва

Задания для самостоятельной работы:

Задана функция у=1'(х/ Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж.

х + 4,если х<-1,

f(x) =

х2 + 2,если - 1<х<1,

2х, еслих> 1.

cos х, если х<0,

f(x) =

х2 + 1,если 0 <х<1,

х, если х > 1.

  • 1
  • 2х + 3

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ

Определение. Уравнения касательной и нормали к кривой

Производной функции у= f(x) в точке х0 называется предел отношения прирагцения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

, f(x„+Ax)-f(x0)

у = lim--------------— (7)

Ах—>0 Дх

Если функция у = f (х) описывает какой-либо физический процесс, то производная у' есть скорость протекания этого процесса. В этом состоит физический смысл производной.

Производная f' (х) в точке х равна угловому коэффициенту касательной Ау

k = tga = lim — к графику функции у = f (х) в этой точке. В этом заключается Ах^О ДХ

геометрический смысл производной (см. рис.5).

Уравнение касательной к графику функции в точке (х00) имеет вид:

У-Уо = f'(x0)-(x-x0). (8)

Так как нормаль перпендикулярна касательной, то ее угловой коэффици

ент k t = —— =--!—. Поэтому уравнение нормали имеет вид (см. рис.6):

V Г(х)

Касательная и нормаль к графику функции

Рисунок 6 - Касательная и нормаль к графику функции

Рисунок 5 - Геометрический смысл производной

Таблица производных представлена в приложении 1.

Пример 1. Найти производную функции у = 7Х -4х.

у' = (7х2-у=7х2Тп7-(х2-4х)'=7х2-1п7-(2х-4).

Пример 2. Найти производные функций: 1) у = arccosx2; 2) у = х-arctgx',

  • 3)у = (1 + 5х- Зх[1]) ; 4) у = arccosVx; 5) у = logf (з 4- 2).
  • 1) ((arccosx2)' =--, • ( х2)' = —, ;
  • •71-(X )2 л/1-х4
  • 2) (х-arctgx) = х'-arctgx4-х-(arctgx}' = arctgx4--—-;
  • 1 + X
  • 3) ^14-5х-Зх1) )' = 4(j4-5х-Зх1) -(5-9х2);

л ( 1 1

4) I arccos л/ х ) = —, =--f=;

V 7 д/1—(л/х)2 2vx

  • 5) (log21( 3 + 2’x))' = 3log22( 3 + 2’x)-----2“x • In2 • (-1 )•
  • 2 2 (3 + 2 )ln3

= log21(tgx4).

Пример 3. Найти производную функции у

Решение: Данная функция является сложной. Ее можно представить в виде цепочки «простых» функций: у = и1, гдеи = log2 z, где z = tgq, где q = х4. По правилу дифференцирования сложной функции ( у' = у' - и' • z' -q' ) получаем:

1

tgx4• In 2

  • 1
  • 2 4 COS X
  • •4x1.

Задания для самостоятельной работы:

Найти производные функций:

  • 4. у = (1-5х)4
  • 5. у = л/1 +cos2 х
  • 6. у = 1п(1 + COS х)
  • 7. y = asinx
  • 8. у = arcsinл/1 —4х
  • 9. у = In sin х--sin2 х
  • 2
  • 10. у = л/1 — х2 4- arcsin х
  • 11. y = (e“sx+3)2
  • 4sinx
  • 12. y =--—

COS X

  • 13. у = x
  • 14.
  • 1

tg22x

15. y = —^Inx x-1

. . sin2 x

  • 16. y =------—
  • 2 + 3cos x
  • 17. у = л/2х-sin2x
  • 18. y = ln —;---

x2 + l

  • 19. у = Ineos x—cos2 X
  • 2

Найти уравнения касательной и нормали к графику у = х2 в точке х = 2. Построить полученные графики.

  • [1] y = sin6x 2 у = —-2х2 +4х-5 3
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >