ПРЕДЕЛЫ

Числовые множества

Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми. Примерами числовых множеств являются:

N = {1; 2; 3;...;- множество натуральных чисел;

Zo = {О; 1; 2;- множество целых неотрицательных чисел;

Z = {0;±1;±2;...;±л;...} - множество целых чисел;

Ш r->

< —:те Z, пе N > n

- множество рациональных чисел;

I - множество иррациональных чисел;

R - множество действительных чисел;

С - множество комплексных чисел.

Между этими множествами существуют соотношения

N(zZ0(zZ(zQ(zR(zC, R = QuI.

Функции

Функцией называется соответствие f, которое каждому элементу хе X сопоставляет один и только один элемент yeY, и записывается у= f(x), хе X . Говорят еще, что функция f отображает множество Xна множество Y.

Основные элементарные функции

  • 1) Показательная функция у = ах, а>0, а #= 1;
  • 2) Степенная функция у = ха, а е R;
  • 3) Логарифмическая функцияy = logpc, а>0, аФ1',
  • 4) Тригонометрические функции у = sinx, у = cosx, y = tgx,y = ctg х;
  • 5) Обратные тригонометрические функции у = arcsinx, у = arccosx, y = arctgx, y = arcctgx.

Числовая последовательность. Предел последовательности

Под числовой последовательностью ,х3 ,...,хп,... обозначается {хп}, понимается функция натурального аргумента

xn = f(n), neN

(1)

Например, xn =< 1,—

  • 1 1 1
  • 2 3’ n

yn= 1,4,9,...,n2

Число а называется пределом последовательности {хп}, если для любого сколь угодно малого положительного числа е > 0, найдется такое натуральное число N, что при всех n > N выполняется неравенство

|-а|

Коротко определение предела можно записать так:

(V?>0 3N : Vn>N =>|xn -а| < ??) <=> limxn - a.

n—>00

Неравенство (2) равносильно неравенствам -e < х11 - a < e или a - e < xn которые показывают, что элемент хп находится в Е -окрестности точки а.

О Хп

---------------( I I Н111НЙ11 I I I—) -а—€ а а+е х

Рисунок 1 - Е -окрестность точки а

При выполнении limxn = а, говорят, что последовательность [xj сходит-П—>00

ся к значению а.

Предел функции

Пусть функция у = f (х) определена на некотором множестве X и пусть х0 е X. Возьмем из множества X последовательность х12,...,хп,..., элементы которой отличны от (хп0), сходящуюся к Xq . Последовательность функции f (xt), f (х2),..., f (хп),... тоже образуют числовую последовательность.

Определение 1 (по Гейне). Число А называется пределом функции y=f(x) при х^х0, если для любой сходящейся к Хд последовательности значений аргумента {хп}, отличных от х(), соответствующая последовательность { f (xn)j значений функции сходится к числу А.

Записывают lim f(х) = А.

Х^-Хо 7

Функция у = f (х) в точке хо может иметь только один предел.

Определение 2 (по Коши). Число А называется пределом функции у = f (х) при х —э х0, если для любого сколь угодно малого числа е >0 существует число €>(?“)> 0 такое, что при |х- х0| выполняется неравенство | f (х)- а| < Е (см. рис.2).

Записывают lim f (х) = А.

Х^-Хо '

В определении предела функции lim f (х) = А считается, что х стремится Х^-Хо

к х0 любым способом: слева, справа от х0 или колеблясь около этой точки. Бывают случаи, когда способ приближения аргумента х к Xq существенно влияет на значение предела функции. Поэтому вводят понятия односторонних пределов (см. рис. 3).

Предел слева и справа записывают соответственно: lim Г(х)=Д; lim Г(х) = Д.

х—> Xq -0 х—> Ху +0

Если в точке существуют оба предела и они равны Д = Д, то существует и предел А= lim f (х). Если же Д Д, то lim f (х) не существует.

Х->Хо

Односторонние пределы

Рисунок 3 - Односторонние пределы

Определение предела

Рисунок 2 - Определение предела

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >