Анализ моделей на чувствительность

В рамках анализа выявляется чувствительность полученного оптимального решения к изменениям параметров исходной модели.

При таком анализе всегда рассматривается комплекс линейных оптимизационных моделей. Это придает модели определенную динамичность, позволяющую исследователю проанализировать влияние возможных изменений исходных условий на полученное ранее оптимальное решение.

Рассмотрим основные задачи анализа на чувствительность на приведенном выше примере.

Анализ изменений запасов ресурсов

Данный анализ призван ответить на два вопроса:

  • 1. На сколько можно увеличить запас некоторого ресурса для улучшения полученного оптимального значения целевой функции Z?
  • 2. На сколько можно снизить запас некоторого ресурса при сохранении полученного оптимального значения целевой функции Z?

Ограничение линейной модели называют связывающим (активным) если прямая ему соответствующая проходит через оптимальную точку. В противном случае - ограничение несвязывающее (неактивное).

На рис.5 связывающими ограничениями являются ограничения, представленные прямыми L, и L,. Ограничение L, определяет запасы сырья А. Ограничение L3 определяет соотношение спроса на выпускаемую продукцию.

Ресурс, количество которого определяет активное ограничение, называется дефицитным, так как он используется полностью. В противном случае, ресурс - недефицитный (т.е. имеющийся в некотором избытке).

В нашем примере несвязывающими ограничениями являются Ц и Ь4. Следовательно, сырье В - недефицитный ресурс, т. е. имеется в избытке, а спрос на продукцию П2 не будет удовлетворен полностью (в таблице — ресурсы 2 и 4).

При анализе модели на чувствительность по правым частям ограничений определяются:

  • 1) предельно допустимое увеличение запаса дефицитного ресурса, позволяющее улучшить найденное оптимальное решение;
  • 2) предельно допустимое снижение запаса недефицитного ресурса, не изменяющее найденное ранее оптимальное значение целевой функции.

В нашем примере сырье А и соотношение спроса на выпускаемую продукцию П{ и П2 являются дефицитными ресурсами (в табл.1 - ресурсы 1, 3).

Рассмотрим сначала ресурс - сырье А. На рис. 6 при увеличении запаса этого ресурса прямая Ц перемещается вверх, параллельно самой себе, до точки К, в которой пересекаются линии ограничений Ц, Ц и L4. В точке К ограничения (2), (3) и (4) становятся связывающими; оптимальному решению при этом соответствует точка К, а множеством допустимых решений становится многоугольник АКДО. В точке К ограничение (1) (для ресурса А) становится избыточным, так как любой дальнейший рост запаса соответствующего ресурса не влияет ни на пространство решений, ни на оптимальное решение.

Таким образом, объем ресурса А не следует увеличивать сверх того предела, когда соответствующее ему ограничение (1) становится избыточным, т. е. прямая (1) проходит через новую оптимальную точку К. Этот предельный уровень определяется следующим образом. Устанавливаются координаты точки К, в которой пересекаются прямые Ц, L, и L4 т. е. находится решение системы уравнений

  • 3xj + 2 =13;
  • 2 < X, - х= 1;

Л =2-

В результате получается х} = 3 и х2 = 2. Затем, путем подстановки координат точки К в левую часть ограничения (1), определяется максимально допустимый запас ресурса А.:

2xj + 3x2 = 2- 3 + 3- 2 = 12.

Рисунок 7 иллюстрирует ситуацию, когда рассматривается вопрос об изменении соотношения спроса на продукцию П1 и П2.

Новой оптимальной точкой становится точка Е, где пересекаются прямые Ц и Ц. Координаты данной точки находятся путем решения системы уравнений (1) и (2) следующим образом:

  • 2xj+3x2=9; Г5/Зх2 =1/3;
  • 1 + 2х2=13. — 5/2xj = — 21/2.

В результате получается Xj=4,2; х2=0,2, причем суточный спрос на продукцию П{ не должен превышать спрос на продукцию П2 на величину х, - х2 = 4,2 - 0,2 = 4 ед.

Дальнейшее увеличение разрыва в спросе на продукцию Пх и /72 не будет влиять на оптимальное решение.

Геометрическая интерпретация решения задачи линейного программирования (изменение ресурса Д)

Рисунок 6 - Геометрическая интерпретация решения задачи линейного программирования (изменение ресурса Д)

Геометрическая интерпретация решения ЗЛП (изменение спроса на продукцию)

Рисунок 7 - Геометрическая интерпретация решения ЗЛП (изменение спроса на продукцию)

Рассмотрим вопрос об уменьшении правой части несвязывающих ограничений.

Ограничение (4) х2 < 2 фиксирует предельный уровень спроса на продукцию П2. Из рис. 5 следует, что, не изменяя оптимального решения, прямую Ь4 (АВ) можно опускать вниз до пересечения с оптимальной точкой С. Так как точка С имеет координаты Xj =2,4; х2 = 1,4, уменьшение спроса на продукцию П2 до величины х2 =1,4 никак не повлияет на оптимальность ранее полученного решения.

Рассмотрим ограничение (2) 3х1+2х2<13, которое представляет собой ограничение на недефицитный ресурс - сырье В. И в этом случае правую часть - запасы сырья В - можно уменьшать до тех пор, пока прямая Ц не достигнет точки С. При этом правая часть ограничения (2) станет равной 3xt+2x2 =3-2,4+ 2-1,4 = 10, что позволяет записать это ограничение в виде: Зх1+2х2<10. Этот результат показывает, что ранее полученное оптимальное решение не изменится, если суточный запас ресурса В уменьшить на 3 ед.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >