Кинематика материальной точки

1.1.1. Пространство и время. Механическое движение.

В различных физических явлениях мы встречаемся с различными физическими величинами. Но во всех явлениях мы встречаем, кроме других, пространство и время. Основной величиной, с помощью которой определяют пространственные свойства тел, является длина отрезка. Поэтому можно считать длину и время особыми физическими величинами.

Длина является мерой протяженности тел, время

Рис. 1

мерой длительности процессов и явлений. Вне времени и пространства нет материи, нет явлений. Движение тел происходит относительно друг друга, иными словами, при движении происходит изменение взаимного расположения тел или частей одного тела (деформация). В каждом движении принимают участие, по крайней мере,

два тела, поэтому для описания движения можно принять одно из тел за тело отсчета. Как показывает опыт, в классической механике, свойства пространства не зависят от выбора тела отсчета и направления движения. Иначе говоря, при переходе от одной системы отсчета к другой необходимо учитывать только геометрические свойства системы отсчета, а не физические свойства тел, связанных с системой отсчета. Механическое движение - это изменение положения тела в пространстве с течением времени. Измерение времени может быть произведено с помощью такого процесса, который периодически повторяется (например, часы). Опыт показывает, что в классической механике время не зависит от свойств тел и скорости их движения. Описать движение тела означает указать для каждого момента времени положение тела и его скорость. Основная задача механики заключается в том, чтобы, зная начальное положение тела, а также законы, управляющие движением, определить его положение во все последующие моменты времени. Нужно иметь в виду, что ни одна физическая задача не может быть решена абсолютно точно. Всегда получают приблизительное решение. Решая задачи приближенно, пренебрегают некоторыми факторами, которые в данном случае не существенны. Например, рассматривая движение тела его размерами можно в некоторых случаях пренебречь. Тело, размерами которого можно пренебречь в данных условиях, называется материальной точкой. Вопрос о том можно ли данное тело рассматривать как материальную точку или нет, зависит не от размеров тела, а от условий решаемой задачи. Это возможно в двух случаях: при поступательном движении тела, когда все точки тела движутся одинаково и в случае, когда размерами тела можно пренебречь по сравнению с расстояниями, на которых рассматривается движение тела. Для того, чтобы получить возможность описывать движение количественно, приходится с телом отсчета связывать какую-либо (например, декартову) систему координат. Тогда положение точки А можно однозначно определить, задав три числа (х, у, z) - координаты этой точки (рис. 1.). Положение точки относительно точки отсчета можно задать и радиус-вектором г, соединяющим данную точку с телом отсчета. Если при координатном и радиус-векторном задании положения материальной точки использована одна и та же точка отсчета и одни и те же часы, то f = x-i+y-j + z-k, где i,j,k-

Рис. 2

единичные орты осей. При движении тела с течением времени координаты материальной точки изменяются, т.е. они являются некоторыми функциями

времени: x = x(t), у = y(t), z = z(t). Эта система трех скалярных уравнений эквивалентна векторному уравнению r = r(t).

Пусть материальная точка при своем движении переместилась из точки А в точку В (рис. 2). Линия, описываемая концом радиус-вектора г при движении точки, называется траекторией. В зависимости от формы траектории различают прямолинейное и криволинейное движение. Длина участка траектории АВ, все точки которого пройдены однократно, называется пройденным путем dS. Направленный отрезок прямой, соединяющий начальное положение точки с ее конечным положением называется вектором перемещения Дг = г - г0 (рис.2).

2.1.1. Скорость и ускорение точки.

Под скоростью характеризующую не

Рис. 3

понимают векторную величину, только быстроту изменения координаты точки (или радиус-вектора), но и

направление, в котором движется точка в данный момент времени. Разобьем траекторию точки на малые участки длины AS (рис. 3). Каждому участку сопоставим малое перемещение Дг. Разделив это перемещение на соответствующий промежуток времени Д1, получим среднюю скорость точки за

это время

/_. Дг

<v> = —

At

Предел, к которому стремится средняя скорость, при At^O называется мгновенной скоростью точки

Дг dr _

lim— = — = v. At dt

Таким образом, мгновенная скорость есть первая производная от координаты по времени. Вектор мгновенной скорости направлен по касательной к траектории в данной точке.

Очевидно, что

_ dr dx т dy -т dz г _ т

v =— i+ —• н---к и v = v„-i+v

dt dt dt dt

И тогда можно утверждать, что

dx

V = — dt

dz dt

dy v = — у dt

В случае прямолинейного движения ось координат можно направит вдоль прямой по которой движется точки и тогда

/л dx

v = v =0, v = v = —. у z х dt

Путь, пройденный телом за время dt, очевидно, будет равен dS = v(t)-dt. Для определения всего пути, пройденного за время t,

| v это выражение надо

проинтегрировать, т.е. S = j v(t)- dt.

I Если изобразить графически

зависимость v(t), то пройденный путь можно представить как площадь

Рис 4 фигуры, ограниченной осями

координат, кривой v(t) и моментом времени t (рис.4).

При равномерном движении v = const и тогда S = x-x0=v-t отсюда x = x0±v-t - это и есть кинематическое уравнение равномерного прямолинейного движения.

Среднее значение модуля скорости (средняя путевая скорость) в этом случае определяется по формуле = ———.

t2 — t]

При неравномерном движении скорость точки v изменяется как по величине, так и по направлению. Пусть за время At скорость точки изменилась на величину Av. Векторная величина а = —

At

называется средним ускорением точки, а предел, к которому стремится среднее ускорение при At —> 0, называется мгновенным ускорением

Av dv _

lim— = — = а.

At dt

Мгновенное ускорение есть первая производная от скорости по времени или вторая производная от радиус-вектора по времени.

В случае прямолинейного движения вектора v и а коллинеарные и тогда v = ja(t)-dt, т.е. зная ускорение точки a(t), мы можем о

определить скорость точки в любой момент времени

При равноускоренном движении а = const и тогда v = fa-dt = a- t + C. Произвольную постоянную С можно найти из о

начальных условий, если в момент времени t = О v = v0, то С = v0 и v = v0 ± а • t. Для пути пройденного телом при равноускоренном движении получим S = |(v0 ± а • t)dt = v0 • t ± ——.

о 2

Кинематическое уравнение движения будет иметь вид a-12

ат x = x0±v0-t±---. В случае

---и—----2

| криволинейного движения вектор

? а ускорения может образовывать с вектором

ап Рис. 5 скорости произвольный угол. Для простоты

рассуждений разложим вектор ускорения а на две составляющие, одну из которых ат направим вдоль вектора скорости (тангенциальная составляющая), а вторую ап - в направлении перпендикулярном ему (рис.5.) Легко убедиться в том, что а = д/а2 +aj . Тангенциальное ускорение

dv характеризует изменение скорости по величине и поэтому ат = — dt

и направлено вдоль вектора скорости, т.е. по касательной к траектории. Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению. Определим величину нормального ускорения. Пусть за время dt скорость Ур точки изменилась на величину Av.

а4 Разложим вектор Av на две / составляющие - нормальную Avn и

/ в Дуп v тангенциальную AvT(pnc. 6.).

Avn АВ

0 Рис. 6. Очевидно, что ---=—. Так как

v R

v2 Av v2

AB = v-dt, то Avn = — dt и, следовательно ап =—- = —.

R dt R

Нормальное ускорение, будучи перпендикулярным, к вектору скорости, являющейся касательной к траектории, направлено по радиусу к центру окружности и поэтому иногда называется центростремительным ускорением.

3.1.1. Кинематика вращательного движения.

Вторая абстракция, с которой мы имеем дело в механике, - это абсолютно твердое тело. В природе нет совершенно ©недеформирумых тел, однако во многих

I у | случаях деформациями тел при их

г г т движении можно пренебречь. Абсолютно

У | твердым телом, называется тело

Рис. 7. деформациями которого можно пренебречь

в данных условиях.

Всякое движение твердого тела можно разложить на

поступательное и вращательное.При вращательном движении все

точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения. Ось вращения может проходит через тело, но может находиться и вне тела (рис.7).Пусть тело вращается вокруг оси 00'. В начальный момент времени положение точки С определяется

радиусом R. Положение точки через промежуток времени At (точка В) можно задать углом А(р, на который поворачивается радиус-вектор, соединяющий точку с осью вращения - угол поворота (рис.8.). Угол поворота определяется длины дуги ВС к радиусу окружности, т.е.

отношением

а ВС €

А(р = = —, R R

окружность

измеряется в радиан. Легко показать, что полная образует угол поворота равный 2л радиан. Величину равную отношению угла поворота к промежутку времени, в течение которого совершен этот поворот, называют средней угловой скоростью, (о)) =—, а предел, к которому стремится средняя At

скорость при At —> 0 называется мгновенной угловой скоростью, lim—= —= (о. Угловая скорость есть первая производная от At dt

угла поворота по времени. Угловая скорость - псевдовектор и его направление определяется с помощью правила правого винта. Если головку правого винта вращать в направлении вращения тела, то направление поступательного движения винта даст

направление вектора угловой скорости. Отдельные точки вращающегося тела имеют различные линейные скорости. Величина скорости v определяется угловой скоростью со и расстоянием R точки от оси вращения. Пусть за время dt тело повернулось на угол dtp. Точка находящаяся на расстоянии R от оси вращения пройдет при этом расстояние d? = R-d(p. Линейная d? dcp о о

скорость точки v = —= R •—^- = R *(о. Вращение с постоянной угловой скоростью называется равномерным вращением и в этом случае ср = со • t (сравните, S = v • t). Равномерное вращение можно характеризовать периодом обращения Т или частотой обращения v. Периодом обращения называется промежуток времени, в течение которого тело совершает полный оборот, и тогда, (о = ^. Частота обращения v = и, следовательно, со = 2п • v. При неравномерном вращении вектор угловой скорости может изменяться как по величине (изменение скорости вращения), так и по направлению (за счет поворота оси вращения). Пусть за время At угловая скорость изменилась на величину Асо. Тогда

А(о

величину 8 = — называют средним угловым ускорением, а At

предел, к которому стремится средняя скорость

при

At —> 0 называется мгновенной угловой скоростью, т.е.

Ао) lim— =

At

do)

--= 8.

dt

Угловое ускорение есть первая производная от угловой скорости по времени или вторая производная от угла поворота по времени.

v doo

Так как со =—, то 8 = —

R dt

4.1.1. Аналогия между формулами кинематики поступательного и вращательного движения________________________________

Величина

Поступательное

Вращательное

Перемещение

г

Ф

Скорость

_ dr

V = — dt

do co = — dt

Ускорение

_ dv

а = —

dt

dco

8 =--

dt

Скорость

v = v0 ± a • t

CD = CD() ± 8 • t

Пройденный путь

a • t2

  • S = v -t±----
  • 0 2

, 8- t2

0-t±

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >