Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности. Критерий согласия Пирсона

Пусть X — исследуемая случайная величина, закон распределения которой неизвестен, но есть основания предположить, что X имеет нормальное (или любое другое) распределение.

Критерий проверки гипотезу о предполагаемом законе неизвестного распределения называется критерием согласия.

Существует несколько критериев согласия: («хи квадрат») Пирсона, Колмогорова, Смирнова и др.

Критерий х Пирсона - наиболее часто употребляемый на практике. Рассмотрим применение этого критерия для проверки гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности. Следовательно, требуется при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу А/0: генеральная совокупность распределена нормально.

Для решения этой задачи необходимо:

1. По выборке объема п, извлеченной из генеральной совокупности, построить эмпирическое распределение в виде последовательности равноотстоящих вариант и соответствующих им частот либо в виде последовательности интервалов (X_if и соответствующих им частот (И_г - сумма частот, попавших в i-й интервал):

Таблица 6.2

_______Таблица эмпирического распределения частот_______

Таблица 6.3

Таблица эмпирического распределения частот

¹

Если эмпирическое распределение такого вида как представлено в таблице 6.2, то следует вычислить выборочную среднюю %_в, выборочное среднее квадратическое отклонение <Т_В и вычислить теоретические частотыгде n - объем выборки (И = П_г + П₂ + ••• + h - шаг (разность между соседними вариантами);

u, =

ф(-х) =

3. Сравниваем эмпирические частоты с теоретическими П i с помощью критерия Пирсона:

для чего необходимо найти расчетное значение критерия :

2 V-n'i){{Вычислить выборочную среднюю х* и выборочное среднее квадратическое отклонение О’*; 2 Пронормировать X, т.е. перейти к случайной величине Z = (X-x*)/a* и вычислить концы интервалов zi = (X — ^*)/

а затем по таблице критических точек распределения по данно-му уровню значимости а и числу степеней свободы k= s-3 (s - число различных вариант либо число различных интервалов выборки) найти критическую точку Хк_Р(«Л). Если Хр<^_Кр, то нет основа-2 2

ний отвергнуть нулевую гипотезу; если Хр^>Хкр- ^т0 нулевую гипотезу следует отвергнуть.

Если эмпирическое распределение имеет вид как представлено в таблице 6.3, то необходимо:

1. Найти середины частичных интервалов

х₍* = (х, + х₁₊₁)/2

и записать статистическое распределение

4. Вычислить теоретические частоты = пР_ь где п - объем

выборки (п = + п₂ Н-----Ь ni), Р[ = Ф(Х₊1) — Ф(Х) - вероят

ность попадания X в интервал (х, Х_г+1), Ф(г_?) - функция Лапласа.

5. Сравнить эмпирические частоты с теоретическими как это было описано выше.

Пример 6.4. Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0,05 проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности X с эмпирическим распределением выборки объема п= 150________________________

Решение. Найдем середины ж* частичных интервалов (x_i#X_i+1) заданного интервального эмпирического распределения и запишем распределение равноотстоящих вариант (частоты Ъ = ____________________________

Таблица 6.4

Вычисление интервалов

Таблица 6.5

Вычисление теоретических частот

Таблица 6.6

Вычисление

Вычислим выборочную среднюю %* и выборочное среднее квадратическое отклонение (7*:

13252,5

_{= ; =}--- , _{= 8 5}

• 1 п 150___
• ?Г* = ₌ |4688.5 _{= 5 59}
• ?у п 150 *

Найдем интервалы j), для чего составим таблицу 3.4.

Определим теоретические вероятности Р_г и теоретические частоты п = nPj = 150Р_г Для этого составим таблицу 3.4. Значение функции Лапласа находим по таблице приложения 2.

Сравним эмпирические и теоретические частоты с использованием критерия /² Пирсона. Для вычисления расчетного значения критерия /² составим таблицу 3.5, последние два столбца которой служат для контроля вычислений:

- п = 157,7132 - 150 = 7,7132 =

По таблице критических точек распределения (таблица Пирсона) [7J по уровню значимости я = 0,05 и числу степеней свободы k=s-3=10-3=7

(s=10 - число интервалов) находим критическую точку j^(0,05; 7)=14,1.

Поскольку < /²_р, нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности. Т. е. эмпирические и теоретические частоты различаются незначимо.

Выводы по лекции

• 1. Основной задачей теории статистических гипотез является по результатам эксперимента (по данным выборки) сделать обоснованные выводы о свойствах генеральной совокупности.
• 2. Статистическая проверка гипотез тесно связана с теорией оценивания параметров распределений. При обработке результатов измерений для выяснения того или иного случайного явления прибегают к высказыванию гипотез (предположений).
• 3. Статистические критерии не доказывают справедливости гипотезы, а лишь устанавливают на принятом уровне значимости ее согласие или несогласие с результатом наблюдений.

Вопросы для самопроверки

• 1. Сформулируйте нулевую гипотезу о числовом значении математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсии.
• 2. Сформулируйте альтернативные гипотезы о числовом значении математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсии
• 3. Опишите этапы проверки нулевой гипотезы для всех случаев альтернативной гипотезы о числовом значении математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсии.
• 4. В каком случае подтверждается нулевая гипотеза, а в каком опровергается?
• 5. Сформулируйте нулевую гипотезу о равенстве математических ожиданий двух нормальных распределений с известными дисперсиями.
• 6. Сформулируйте альтернативные гипотезы о равенстве математических ожиданий двух нормальных распределений с известными дисперсиями.
• 7. Опишите этапы проверки нулевой гипотезы для всех случаев альтернативной гипотезы о равенстве математических ожиданий двух нормальных распределений с известными дисперсиями.
• 8. В каком случае подтверждается нулевая гипотеза, а в каком опровергается?
• 9. Сформулируйте нулевую гипотезу о равенстве математических ожиданий двух нормальных распределений с неизвестными, но равными дисперсиями.
• 10. Сформулируйте альтернативные гипотезы о равенстве математических ожиданий двух нормальных распределений с неизвестными, но равными дисперсиями.
• 11. Опишите этапы проверки нулевой гипотезы для всех случаев альтернативной гипотезы о равенстве математических ожиданий двух нормальных распределений с неизвестными, но равными дисперсиями.
• 12. В каком случае подтверждается нулевая гипотеза, а в каком опровергается?
• 13. Сформулируйте нулевую гипотезу о равенстве дисперсий двух нормальных распределений.
• 14. Сформулируйте альтернативные гипотезы о равенстве дисперсий двух нормальных распределений..

• 15. Опишите этапы проверки нулевой гипотезы для всех случаев альтернативной гипотезы о равенстве дисперсий двух нормальных распределений.
• 16. В каком случае подтверждается нулевая гипотеза, а в каком опровергается?

Литература: 2, 3, 6, 8.