Анализ двух нормальных выборок

Проверка однородности выборок

Проверка однородности может выполняться по различным показателям, основными из них являются:

• 1) однородности дисперсий по F-критерию Фишера и G-критерию Кохрена;
• 2) однородности средних арифметических по t-критерию Стью-дента.

Проверка однородности дисперсий

Проверка однородности дисперсий по F-критерию Фишера выполняется по формуле

_{F(? =} ?^<_F/> (1.21)

^"min

2 2

где сг^ах, (Tmin - максимальная и минимальная дисперсии;

F_p, Ft- расчетное и табличное значения F-критерия (приложения Б, В, Г).

Fr (p(c, fl, f2),

где q - уровень значимости;

fi - число степеней свободы для максимальной дисперсии: fi=ni-l;

f? - число степеней свободы для минимальной дисперсии: f₂= пг-1;

nt, П2 - число измерений в каждой независимой выборке.

Если условие (1.20) выполняется, то дисперсии однородны с надежностью более q%, иначе неоднородны с надежностью Р> (100—q)%.

Статистическая однородность дисперсий независимых параллельных измерений означает преобладание сформированных станком случайных погрешностей обработки на фоне случайных погрешностей измерения, т.е. свидетельствует о статистической достоверности измеренных погрешностей обработки. Неоднородность означает существенное влияние погрешностей измерения на результаты измерения погрешностей обработки [5].

Примечание. Если дисперсии оказались неоднородными, то следует проверить однородность максимальной дисперсии по G-критерию Кох-рена. Если же по F-критерию Фишера дисперсии оказались однородными, то проверку по критерию Кохрена можно не делать.

Расчетное значение G-критерия Кохрена определяется по формуле

S²

G_p=^^T, (1.22)

ZS²

j=> ?

где G_p, Gt - расчетное и табличное значения G-критерия (приложения Д, Е).

Gj =(p(q, f, k),

где f - число степеней свободы;

к - число сравниваемых выборок (деталей).

Оценка однородности аналогична изложенной выше для F-кри-терия.

Проверка однородности средних арифметических

Проверка однородности средних арифметических выполняется по формуле

• S =
• 2 2

f₁<7₁ + f₂(72

• (1.23)
• (1.24)

где xi и Х2- средние значения независимых измерений каждого показателя;

t-г- табличное значение критерия Стьюдента:

t_T=<^q, f),

В этой проверке число степеней свободы f берется суммарное:

1= П1 + пэ -2, (1.25)

где П1 , пэ - число измерений в каждой независимой выборке. Табличные значения tr приведены в приложении Ж.

Технический смысл однородности средних состоит в подтверждении отсутствия систематической ошибки в результатах независимых измерений проверяемого показателя. И наоборот, неоднородность средних арифметических независимых измерений означает наличие систематической ошибки в этих независимых измерениях. Например, при измерении толщины доски с помощью штангенциркуля и микрометра возможна систематическая ошибка вследствие разного характера контакта этих инструментов с шероховатой поверхностью доски, а также вследствие различной величины контактных усилий при измерениях. Источником систематической ошибки при независимых измерениях разными операторами одним и тем же инструментом может служить указанное различие в величине контактных усилий, а также личные особенности базирования инструмента на доске каждым из операторов.

Пакет Statistica позволяет оценить однородность выборок с помощью критерия Стьюдента и Фишера.

Для вывода результатов нужно выбрать команду Анализ и в раскрывшемся меню указать метод «Основные статистики и таблицы». Появится диалоговое окно. В нем нужно выбрать пункт «t-критерий для независимых переменных» (рис. 1.13).

Затем в появившемся диалоговом окне следует указать, какие пары переменных будут сравниваться. Окно результатов будет включать следующие вычисления:

• - средние арифметические;
• - количество наблюдений обеих выборок;
• - расчетные значения критерия Стьюдента;
• - расчетные значения критерия Фишера;
• - число степеней свободы;
• - уровень значимости.

Если выборки неоднородны, то вся строка будет выделена красным цветом; если же они будут однородны - черным цветом. Пример расчета представлен на рис. 1.19.

л] STATISTICA - Workbook!!* - [Т-критерий независимых выборок (Таблица данных!)] - [Workbook!!’ - Т-критерий независимых выборок (Таблица данных!)]

Рис. 1.19. Пример проверки однородности