Определение на планшете четвертой точки по трем данным (задача Потенота)

Если на планшете уже имеются три точки, соответствующие трем точкам местности, то четвертую можно получить не только прямой и комбинированной засечками, требующими двух точек стояния мензулы, но и установкой ее только на одной определяемой точке. Такое определение четвертой точки по трем данным известно под названием задачи Потенота. Рассмотрим лишь три из всех многочисленных ее решений.

Способ А.П. Болотова

Мензулу устанавливают в определяемой точке. Планшет только нивелируют. На планшет укладывают лист восковки (прозрачной бумаги), укрепляют его. Произвольно в центре планшета на 226 восковке (лучше иглой измерителя) отмечают точку и обводят ее карандашом (рис. 14.8, а). Прикладывая линейку кипрегеля к этой точке и визируя трубой на точку А местности, проводят линию остро отточенным карандашом. Те же действия выполняют на точки В и С. Затем освобождают восковку от кнопок, убирают кипрегель с планшета и путем перемещения восковки добиваются, чтобы прочерченные линии проходили точно через одноименные точки на планшете. Переколотая на планшет точка с восковки и есть искомая. После ориентирования планшета осуществляют контроль определения точки засечками на себя с двух других точек (рис. 14.8, б). Если требуется, то определяют ее высоту и закрепляют точку на местности.

Способ Болотова обеспечивает необходимую точность при значительной экономии времени, особенно в безветренную погоду.

Способ поворотов планшета

Пусть по известным пунктам А (левый), В (правый), С (средний) требуется определить положение точки d, в которой установлена, но не ориентирована мензула (рис. 14.9).

Способ поворотов

Рис. 14.9. Способ поворотов

Бессель предложил следующее решение: надо вообразить себя стоящим сначала в левой точке А. Прикладывая линейку кипрегеля к линии ab, поворотом планшета наводят трубу на точку В местности (рис. 14.9, а), т. е. как бы ориентируют планшет по линии ab. Прочерчивают линию через точку а на планшете на точку С местности. Затем мысленно переходят из точки А в правую точку В и выполняют то же самое, что и в левой точке (ориентируют планшет по линии Ьа на точку А местности и прочерчивают линию через точку b на планшете на точку С на местности) (см. рис. 14.9, б).

Полученная вспомогательная точка q и точка с на планшете образуют ориентирную линию, на которой находится искомая точка d (рис. 14.10, а).

Прикладывают линейку кипрегеля к линии qc, трубу кипрегеля наводят на точку С местности поворотом планшета. Планшет ориентирован. Через точку а на планшете прочерчивают линию на точку А местности до пересечения с линией ориентирования qc. Получают искомую точку d. Прочерчивают линию через точку b на планшете и точку В местности, она должна проходить через точку d. Задача решена.

К обоснованию решения задачи Потенота

Рис. 14.10. К обоснованию решения задачи Потенота

Обоснование решения задачи. На рис. 14.10, б по построению имеем 8, + а( = 180° = 8' + aj и s2 + a2 = 180° = 8' +а'. Углы и а' опираются на одну и ту же дугу окружности, поэтому они равны между собой, как и углы а2 и а'2. Следовательно, и с2 = е'2. Следова

тельно, углы, построенные (см. рис. 14.9) при точке а (82) и при точке b (s'), соответственно равны углам s2 и 8, (см. рис. 14.10, а), что подтверждает справедливость решения задачи способом поворотов планшета.

Определяемая точка d может занимать шесть разных положений относительно трех данных точек а, Ь, с (см. рис. 14.10, в):

I— внутри треугольника, образованного данными точками;

II— на одной из сторон этого треугольника;

III — вне треугольника abc, но внутри окружности, проведенной через эти точки;

IV— на окружности, проведенной через три данные точки;

V— вне этой окружности, против одной из сторон треугольника;

VI— вне окружности, против одного из углов треугольника.

Самыми надежными случаями для решения задачи Потенота являются I, II и VI. В этих случаях линия ориентирования получается достаточной длины, а ориентирование — точным.

Случаи III и V ненадежны: прямая cq получается короткая. В случае IVрешение задачи невозможно: вместо прямой qc получа-228 ется точка.

Способ последовательных приближении

Способ приближений

Рис. 14.11. Способ приближений

Планшет нивелируют и ориентируют по буссоли. Проводят три направления через одноименные точки на планшете и на местности. Если все направления пересекутся в одной точке, то это и будет искомая точка d (рис. 14.11, а).

Если при пересечении направлений получился треугольник погрешностей (рис. 14.11, б), то ориентирование планшета было неточным. На глаз намечают наиболее вероятное положение искомой точки и ориентируют планшет уже по линии наибольшей длины, снова прочерчивают направления через точки аА, ЬВ, сС. При удачном выборе точки направления пересекутся в ней. Если образовался новый треугольник погрешностей, то все действия повторяют, делая третье и т. д. приближения.

Из трех рассмотренных способов решения задачи Потенота большое распространение получил способ поворотов планшета, предложенный Бесселем.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >