Решение прямой и обратной задач в геодезии

Прямая задача

Одна из основных задач геодезии заключается в определении координат точек. Пусть в прямоугольной системе координат (рис. 11.2) дана точка А (Х_А; Y_A). Требуется определить координаты Х_в, Y_B точки В, если известны длина S_AB и дирекционный угол линии а . Из рис. 11.2 имеем

(11.14)

^Хв^-Хл ^{+ АХ}л»'

где

^АХ_ДВ=⁵'лв^со5алв' (11.16)

^АГл»=⁵лв⁸1па_Лв. (11.17)

Рис. 11.2. К решению задач на плоскости

Последовательное решение прямой задачи заключается в вычислении координат точек хода.

Обратная задача

Даны точки А (Х_А; У ) и В (Х_в; У_в). Требуется определить длину линии S_AB и дирекционный угол а . Из рис. 11.2 имеем

tg^ = У _ у

Л-В

У_в-У_д х_в-х_А Q _ D_____А _ D_____А_

^ЭАВ ~ '

• (11.18)
• 183

sinr_Ae COS r_AB

S_At = ^Y_s-Y_A)² + (X_s-X_A)².

В решении обратной задачи имеется неопределенность. По формуле (11.18) вычисляют румб г, но не дирекционный угол а, величина которого зависит от того, в какой четверти расположена линия, что определяется знаками числителя и знаменателя формулы (11.18) и связью румбов и дирекционных углов.

Вычисление линейной невязки хода, оценка ее допустимости. Увязка приращений координат. Вычисление координат и высот точек хода

На основе решения прямой задачи согласно формулам (11.14) —

(11.17) для хода (см. рис. 11.2, а) имеем:

х₂=х_н+дх, х₃=х₂+дх₂

У₂ = У_Н+ДУ, у₃=г₂+ду₂

где Х_н, Y_H, Х_к, Y_K — координаты начальной и конечной точек хода.

Складывая левые и правые части равенств (11.19) и (11.20), учитывая, что Х_к—X_H=ZAX_T, Y_K—Y_H=YAY_T, получим f_x, f_ynf_s. Если условие (11.4) удовлетворяется или

A

ZS 500'

то выполняют увязку приращений координат путем распределения невязок пропорционально длинам линий:

Удх —s_t.

(И-21)

Контроль:

[v„,]=-4; [хДУ1]=-ту.

Вычисляют приращения:

АХ,. = АХ,. + ;

испр

Д5>Д^_д,. ⁽¹¹-²²⁾

испр

Контроль: [ДХ] = Х_К-Х_Н;

испр

[ДУ] = ДУ_К-У_Н.

испр

Вычисляют координаты точек хода:

Х-Х.^+АХ,.^ и У = У,_₁ + АУ,._₁. (11.23)

Контролем вычисления координат служат равенства

X =Х' Y =Y_K.

Все вычисления ведут в ведомости координат (см. табл. 11.3).

Увязку и вычисление высот точек тахеометрического хода выполняют подобно нивелирному ходу (см. табл. 7.3). Предельная невязка вычисляется по формулам тригонометрического нивелирования (см. гл. 10). Вычисления ведут в одной и той же ведомости (см. табл. 11.3).