Средняя квадратическая ошибка арифметической средины

Определим среднюю квадратическую ошибку арифметической средины [см. формулу (4.4)]:

,=Ш.

п

Перепишем это выражение в виде

х=—Д+—/2+...+—7„. п п п

По формуле (4.18) при

к= —; т, =т, = ... = т, = т

n h2

имеем

П7- = —Л7>/п.

п

Обозначив = М, окончательно получим:

Средняя квадратическая ошибка арифметической средины меньше средней квадратической ошибки одного измерения в Это доказывает, что арифметическое среднее из ряда измерений — наиболее надежный результат.

Таким образом, увеличивая число измерений в разумных пределах, можно повысить точность окончательного результата (ариф-70 метического среднего). Но если и дальше увеличивать число п, то случайные ошибки могут сравняться с систематическими и даже стать меньше их, и тогда последующее увеличение числа измерений (приемов) не даст желаемого повышения точности, ибо систематические (постоянные) ошибки не уменьшаются с увеличением п, а остаются теми же и могут играть определяющую роль в оценке результатов измерений.

Формула Бесселя

Когда истинное значение измеряемой величины неизвестно, то применить формулу Гаусса (4.6) для оценки ее точности не представляется возможным. В таких случаях оценку точности выполняют по уклонениям от среднего (среднего арифметического), т. е. по внутренней сходимости.

Пусть имеем ряд равноточных измерений 7, 72, 73, .... 1 одной и той же величины. Наиболее надежным результатом, как известно, является простая арифметическая средина х . Найдем уклонения от среднего:

A-x=V,;

  • 12-x=V2;
  • (4.26)

Сложив левые и правые части равенств (4.26), получим равенство:

[7]-nx =[VJ. (4.27)

Из выражения (4.4) имеем [7] = пх , следовательно,

[V] = 0. (4.28)

Это важное свойство уклонений от среднего свидетельствует о том, что сумма уклонений отдельных результатов измерений от арифметического среднего равна нулю.

Второе важное свойство уклонений от среднего заключается в том, что [V2] =min и по ним можно вычислить среднюю квадратическую ошибку (по формуле Бесселя).

Для вывода допустим, что истинное значение измеряемой величины известно и равно X.

Вычислим истинные ошибки:

7,-X=A„ 7 — Х=А

Вычая почленно из уравнений (4.29) уравнения (4.26), получим:

А, - Vt = х - X;

Д2 - V2 = х - X;

(4.30)

Л„- V„=X -X.

где х — X=W— истинная ошибка арифметической средины. Перепишем выражение (4.30) с учетом равенств:

At = Vj + W;

А2 = V2 + W;

(4.31)

A = V + W. n n

Возведем левые и правые части последнего из равенств (4.31) в квадрат, сложим и поделим на п; получим в результате:

М=И+^+2иЖ (4.32)

п п п

Последнее слагаемое в формуле (4.32) равно нулю по свойству уклонений от среднего (4.28). Второе слагаемое:

W2=M2=—, (4.33)

п

откуда имеем

или

m2(n-l)=[v2].

Окончательно получим формулу Бесселя

т2 =

и. п-1

(4.34)

Средняя квадратическая ошибка измеренной величины равна корню квадратному из суммы квадратов уклонений от среднего, деленной на число избыточных измерений.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >