Средние квадратические ошибки функций непосредственно измеренных величин

В практике измерений возможны случаи, когда искомая величина является функцией непосредственно измеренных величин (произведением измеренной величины на постоянный коэффициент, суммой или разностью, произведением или частным от деления двух или нескольких измеренных величин, линейной функцией или функцией общего вида). Например, Р = nR2, где Р — площадь круга (искомая функция), R — радиус окружности (измеренный аргумент), д = 3,14 — const.

А. В общем случае имеем функцию

U = f(x, у, z,..., ж),

(4.13)

гдех, у, z,..., w — непосредственно измеренные аргументы. На основании свойств случайных ошибок можно записать:

dU=(dx+|^| dy + ... +| dw, (4.14)

dxjo dy Jo

где dU— бесконечно малая ошибка функции (ее полный дифференциал) ;

dx, dy, dw — бесконечно малые ошибки аргументов (их дифференциалы) ;

pn pn гэ/л f

  • — ; — ;...; -— — частные производные от функции f dx)Q dy)Q 1дж>0
  • 66 по каждому из аргументов — постоянные величины.

Переходя от дифференциалов dU, dx, dy, dz,dw к элементарным неизбежным ошибкам AL/, Ах, Ду, Az,..., Aw, на основании формулы Гаусса (4.6) имеем:

где — ... — — квадраты коэффициентов;

Эх Jo dw )

т2, т2,mw2 квадраты средних квадратических ошибок аргументов.

В выражении (4.15) отброшены удвоенные произведения

Действительно на основании третьего свойства случайных ошибок удвоенные произведения являются величинами ничтожно малыми, так как Ах, Ау и т. д. имеют знаки и (+), и (—) и поэтому будут неизбежно компенсироваться, а при делении на п тем более уменьшаться и при достаточно большом п стремиться к нулю.

Таким образом, формула (4.15) вытекает из формулы Гаусса (4.6) и является общей при оценке точности любых функций измеренных величин.

Пример. Определить среднюю квадратическую ошибку превышения

h — Stgv,

где h — функция, полученная из вычислений;

S и v — независимые аргументы, которые измеряются.

Решение. Полный дифференциал от этой функции запишем в виде

dh=tgvdS + —

cos v р

или в конечных малых величинах:

Ah = tgvAS+—AV.

cos v р

На основании формулы (4.15) имеем: 6 7

m2=tg2vm2 +

S2 m2 cos4 V p2

При n?s = 1 м; mv=3"; v = 1°; cos4l°= 1; S=700 м получим mh = 0,10 м.

Рассмотрим теперь распространенные в практике геодезических измерений другие частные случаи функций (4.13) и их средние квадратические ошибки (4.15).

Б. Для функции вида

U = kx,

(4.16)

где х — измеренная величина;

к — постоянный коэффициент, имеем: так как —=к; dU—kdxnxn AU = АЛх.

дх

Средняя квадратическая ошибка произведения постоянного коэффициента на аргумент равна произведению постоянного коэффициента на среднюю квадратическую ошибку аргумента.

Пример. Определить среднюю квадратическую ошибку расстояния, измеренного нитяным дальномером.

Решение. Имеем функцию вида (4.16):

D =С1 + с

при постоянном слагаемом с = 0. Считая коэффициент дальномера С безошибочным, запишем:

mD=Cmr

При отсчитывании по сантиметровому делению рейки т = 1 мм у/1. Пусть D = 100 м, С= 100, следовательно,

шу=0,14м; -5-=^—

D D 700

Средняя квадратическая относительная ошибка измерения расстояний нитяным дальномером равна 1/700.

В. Функция имеет линейный вид:

U=k{x±k2y± ... ±knw,

(4.18) где к2,..., кп постоянные коэффициенты;

х, у, w— независимые аргументы, измеренные со средними квадратическими ошибками т . т , т .

По аналогии с функцией (4.16) на основе формул (4.13) и (4.15) имеем:

т2 = к2т2 + к2т 2 + ... + к 2т 2.

(4.19)

U 1 х 2 у n w

Квадрат средней квадратической ошибки линейной функции равен сумме произведений квадратов постоянных на квадраты средних квадратических ошибок соответствующих аргументов.

Линейная функция (4.18) в отдельных случаях может иметь частный вид.

1) U=kx±ky±...±kw;

к. = к=... = к =к, 12 п

т. е.

  • (4.20)
  • (4.21)

U=k(x±y± ... ±w);

ти =ky]m2+m2y+...+m2w.

2) Если к=1, то

ти2х2у2+... +mw2.

(4.22)

Квадрат средней квадратической ошибки алгебраической суммы аргументов равен сумме квадратов средних квадратических ошибок аргументов.

3) В формулах (4.19) и (4.22)

k=k=k3 = ... = k=l;

т —т - ... =т =т; значит,

ти=ту/п. (4.23)

Пример. Найти среднюю квадратическую ошибку суммы равноточно измеренных углов в треугольнике

U=а + р + у,

где а, р, у — измеренные равноточно углы треугольника.

Решение. =Шр>/з.

Действительно, следовательно, из формулы (4.18) имеем функцию (4.23). Если число углов в фигуре или ходе равно п, то

ти=т^4п.

4) В выражениях (4.18) и (4.19) имеем

i ,=к2=... =к=к;

т=т =... =m„=m,

следовательно,

ти=кт4п. (4.24)

Для случая (4.24) примером является средняя квадратическая ошибка арифметической средины.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >