Принцип арифметической средины

Из третьего свойства случайных ошибок следует, что наиболее надежным результатом из данного ряда измерений является среднее арифметическое, так как его случайная ошибка (4.1) при п-><» стремится к нулю. 6 3

Пусть какая-либо величина была измерена п раз одним и тем же прибором, одним наблюдателем и в одинаковых условиях. При этом получены следующие равноточные результаты:

4 4 4.....4-

Одна из основных задач теории ошибок заключается в том, чтобы определить наиболее надежное значение измеряемой величины.

Допустим, что истинное значение измеряемой величины известно и равно X. Полагая, что измеренное значение этой величины 1 содержит только случайные ошибки А, имеем:

/-х=д1;

1-Х=А . п п

Сложив левые и правые части равенств (4.2) и разделив сумму на п, получим:

И У_[Д]

V V ? (4-3)

По третьему свойству случайных ошибок при п -» <*> 0; зна-

, -п чит, среднее арифметическое значение измеряемой величины,

равное [7]/п, стремится к ее истинному значению. Обозначим

(4.4)

п

Таким образом, среднее арифметическое х из ряда измерений является наиболее надежньм значением измеряемой величины, а при большом числе измерений п^<х> оно приближается бесконечно близко к истинному значению X, т. е.

limx=X.

(4.5)

П->оо

В практике геодезических измерений п — конечное число, иногда сравнительно небольшое. Но и в этих случаях наиболее надежным результатом является простая арифметическая средина.

Критерии точности. Средняя квадратическая ошибка одного измерения. Предельная ошибка. Относительная ошибка

Другая задача теории ошибок (оценка точности) решается благодаря установленным в теории вероятностей критериям. В каче-G4 стве критериев оценки точности используются вероятная, средняя и средняя квадратическая ошибки. Вероятная ошибка г — это ошибка в середине ряда, все ошибки которого расположены по возрастанию или убыванию их абсолютных значений. Например, имеем ряд случайных ошибок: +4; — 2; — 1; —3; 0; + 2; + 1; 0. Расположим ошибки ряда по возрастанию абсолютных значений: 0,0, 1, 1,2, 2,3,4. Вероятная ошибка равна 1,5, т. е. та ошибка, которая находится в середине ряда.

Средняя ошибка вычисляется по приближенной формуле:

п

где |А| — абсолютная величина случайной ошибки.

Наибольшее распространение в геодезии в качестве критерия оценки точности получила средняя квадратическая ошибка, предложенная К.Ф. Гауссом. Ее значение вычисляется по формуле:

(4.6)

где [А2] = А]2 + А22+ ... + А2.

Для приведенного ряда ошибок имеем:

У= 1,6; ш = 2,1; г= 1,5.

В теории вероятностей доказывается, что

У=4/5ш, (4.7)

г=2/3ш, (4.8)

т. е. V= 1,7; г= 1,4. Полученные ранее г и V хорошо согласуются с вычисленными по формулам (4.7) и (4.8).

Средняя квадратическая ошибка является более надежным критерием оценки точности и обладает рядом достоинств:

  • 1) крупные случайные ошибки, фактически определяющие качество измерений, оказывают определяющее влияние на величину т, так как при вычислении средней квадратической ошибки случайные ошибки возводятся в квадрат;
  • 2) даже при малом числе измерений получается достаточно надежная оценка точности. Так, если п = 8, то для приведенного ряда ошибка средней квадратической ошибки тт = 0,5 не будет превышать 25 % от т, что практически считается малой величиной. При этом

3) по величине т можно определить предельную ошибку:

А = 3ш. (4.10)

В практике полевых работ допускается

А = 2т. (4.11)

В теории вероятностей доказывается, что лишь три ошибки из 1000 могут превышать Зт или пять ошибок из 100 — 2т.

При измерении линий, площадей и в некоторых других случаях для оценки точности можно применять относительную среднюю квадратическую ошибку, например:

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >