КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ОШИБОК ИЗМЕРЕНИЙ
Виды измерений. Задачи теории ошибок
Геодезические работы суть измерения. Измерить величину — значит сравнить ее с другой величиной, принятой за эталон или рабочую меру.
Различают непосредственные измерения и косвенные. К непосредственным измерениям относятся, например, измерения линий (мерной лентой, рулеткой, проволокой) или углов (транспортиром, буссолью, теодолитом).
Когда искомую величину (функцию) получают через аргумент, измерения называют косвенными (параметрическими). Например, С = 2яг. Окружность (функция) вычислена через непосредственно измеренный параметр (аргумент) — радиус.
Измерения могут быть равноточные: выполненные одним прибором или приборами одинаковой точности, одним наблюдателем или наблюдателями одинаковой квалификации и в одинаковых условиях. Во всех других случаях измерения — неравноточные.
Измерения подразделяются на необходимые и избыточные. Пусть линия измерена п раз; одно измерение необходимое, (и — 1) — избыточные. Избыточные измерения дают возможность осуществить контроль, найти наиболее надежное значение и оценить точность выполненных измерений. Определение наиболее надежного результата из ряда измерений и оценка точности составляют основные задачи теории ошибок.
Случайные (неизбежные) ошибки и их свойства
Как бы тщательно ни производились измерения, какими бы идеальными ни были условия, как бы совершенны ни были наши органы чувств и приборы, все измерения сопровождаются погрешностями (ошибками).
Теория ошибок не занимается грубыми ошибками — промахами. Грубые измерения должны быть исключены из рядов измерений в результате контроля. Теория ошибок не рассматривает, как 62 правило, систематические ошибки. Они должны быть выявлены, а причины их появления устранены или неоходимо ввести соответствующие поправки.
Теория ошибок изучает неизбежные (случайные) ошибки, которые подчиняются статистическим законам больших чисел. Чем больше измерений в данном ряду, тем лучше в нем проявляются массовые статистические закономерности.
Известны следующие свойства случайных ошибок:
- 1) при данных условиях измерений случайные ошибки по абсолютной величине не должны превышать некоторого предела;
- 2) положительные и отрицательные случайные ошибки, равные по абсолютной величине, одинаково часто встречаются в измерениях (равновозможны);
- 3) среднее арифметическое из ряда случайных ошибок при числе ошибок, стремящемся к бесконечности (_п-*оо), стремится к нулю.
Пусть имеется ряд неизбежных ошибок: А , А2, А3,..., Ап при п -*? <х>, где
д,=А-х, д2=4-х, д3=4-х..., д„=4-х;
X — истинное значение измеряемой величины;
1. — измеренное значение величины.
Тогда среднее арифметическое в пределе будет равно нулю:
Га]
Ипй ^О; (4 л
П
4) в данном ряду измерений малые по абсолютной величине случайные ошибки встречаются чаще, чем крупные.
Кроме того, в ряду случайных ошибок не должно быть видимой закономерности ни по величине, ни по знаку.
Третье свойство вытекает из всех остальных. Действительно, в большом ряду естественно ожидать, что сумма [А] будет малой величиной вследствие компенсации ошибок по второму свойству. Если эту малую величину поделить на п -> оо, то получится бесконечно малая величина, стремящаяся к нулю.
Перечисленные свойства случайных ошибок положены в основу теории ошибок измерений.
