Постоянные планиметра, их определение. Измерение площадей планиметром. Точность измерения площади планиметром

Установим рычаги планиметра так, чтобы колесико не вращалось при их перемещении, а только скользило (рис. 3.6). Запишем:

р²=(Л + г)²+(7?₁²- г²), или

р2 =/?2 _{+ /?1}2 ₊ 2Rr,

т. е. получим выражение (3.11).

Рис. 3.6. Схема рычагов планиметра

Отсюда Q — площадь круга радиуса р, т. е. геометрический смысл постоянного слагаемого планиметра заключается в том, что это площадь круга радиуса р, при котором колесико не вращается, а скользит, и отсчеты по счетному механизму не изменяются.

Геометрический смысл цены деления планиметра С ясен из формулы (3.13): это площадь прямоугольника, сторонами которого являются длина обводного рычага R и линейная величина t одного деления планиметра (рис. 3.7). Если R и t умножить на М (знаменатель численного масштаба), то C = M²Rt (цена деления на местности). Цена деления планиметра С определяется из формулы (3.15):

С=-^Ч (3.16)

г&еР—известная (теоретическая) площадь (например, площадь 1 дм² на карте масштаба 1:10 000 равна на местности 100 га);

п₁ — отсчет псчетному механизму до начала обвода контура;

п₂ — отсчет после обвода известной площади с полюсом вне фигуры. 57

/?М

zzzzrm3W/M

Рис. 3.7. К определению цены деления планиметра

Практически цена деления планиметра определяется двумя-тремя приемами. Один прием составляет определение С при двойном обводе фигуры (счетный механизм слева и справа). Постоянное слагаемое Q планиметра определяется на основе формул (3.14) и (3.15), когда одна и та же фигура обводится с положением полюса вне фигуры и внутри фигуры.

Имеем:

• O = C[(n'₂-n'₁)-(n₂-n₁)]_l
• (3.17)

где (п'₂ — п',) — разность отсчетов при положении полюса вне фигуры;

(n₂ —nJ — разность отсчетов при положении полюса внутри фигуры.

При измерении площадей планиметром следует руководствоваться следующими правилами:

• 1) так как С и Q зависят от длины обводного рычага R, то она не должна изменяться при определении постоянных и измерении площадей; каретка не должна смещаться на обводном рычаге;
• 2) начинать обвод фигуры лучше при положении рычагов, показанном на рис. 3.6, когда колесико не вращается, а скользит: ошибки в измеренной площади будут меньше;
• 3) следить за тем, чтобы под колесико не попадали посторонние предметы, а обводной шпиль строго следовал по границе контура;
• 4) величину С следует вычислить до 4 —5 значащих цифр. Если С — некруглое число, то, изменив R до вычисленной величины, можно привести ее к круглому значению, что видно из уравнения
• (3.18)

где R и С — первоначальные величины;

С_о — круглое число;

R_o — длина обводного рычага, которую следует установить на шкале 1 (см. рис. 3.3) по индексу 2;

• 5) до начала обвода фигуры рекомендуется сделать пробный обвод, чтобы убедиться в том, что углы между рычагами составляют не менее 30° и не более 150°, иначе следует изменить положение полюса. Нужно стремиться к тому, чтобы углы были ближе к 90°;
• 6) если обвод производят с полюсом внутри фигуры, то при вы-58 числении площади следует прибавлять постоянное слагаемое Q

(см. формулу (3.14)), поэтому его определяют до начала измерения площадей так же, как и цену деления планиметра С.

Точность измерения площади планиметром зависит от масштаба карты, конфигурации, размеров участка и от положения рычагов в процессе обвода (угла между рычагами). Лучшие результаты получают по картам крупных масштабов. Не следует допускать измерения планиметром площадей узких и вытянутых участков и контуров, размеры которых на карте составляют менее 15 см². Площади мелких и протяженных участков измеряют палеткой.

Исследования показали, что относительная средняя квадратическая ошибка измерения площади с помощью планиметра составляет 1/400.

Точность вычисления площадей земельных участков имеет особое значение в городах и вообще там, где стоимость земли очень высока; в таких случаях надо либо прибегать к непосредственным измерениям на местности и по ним вычислять площадь геометрическими способами, либо составлять план в очень крупном масштабе и пользоваться самыми совершенными планиметрами.

В настоящее время появились планиметры с электронным отсчетом. Электронный планиметр дает высокую степень автоматизации работ, но он позволяет выполнять измерения только в одном контуре, указанном оператором. При использовании компьютера измерение площадей может быть полностью автоматизировано.

Аналитический способ определения площадей

Более высокую точность определения площадей обеспечивает метод вычисления площадей замкнутых многоугольников по координатам вершин.

Пусть дан простейший из многоугольников — треугольник 123 (рис. 3.8) с координатами X_tУ,; X₂Y₂; Х₃У₃, площадь которого требуется определить.

Рис. 3.8. К определению площади треугольника по координатам вершин

Площадь треугольника равна площади большой трапеции 11 '3'3 минус площади двух малых трапеций 1Г 2' 2 и 22' 3' 3, т. е.

•Рд ^_ Л 1’3'3 ^— Л1'2'2 ^— ^22'3'3 (3.19)

где

^ГЗ'3=^Ц^1^-У.): (3.20)

V . V

₍з,21)

V I V

P22'3'3=^Y^^{Y3~^Y2}- ⁽³'²²⁾

Подстановка формул (3.20) — (3.22) в (3.19) после перемножения и приведения подобных членов дает выражение:

2^_л = X,(У₃- У₂) + Х₂(У. - У₃) + Х₃(У₂- У.)

или, в общем виде, для любого многоугольника

• 2Р=^хду_/_₁-х_/+1), (³-²³)
• 1

т. е. удвоенная площадь многоугольника равна сумме произведений абсцисс вершин многоугольника на разность ординат предыдущей и последующей точек при движении против хода часовой стрелки.

Для контроля вычислений справедлива формула

• 2P=y_iY_l(X_l+,-X,__t). (3.24)
• 1

Пример. Даны прямоугольные координаты (табл. 3.1) вершин многоугольника ABCDEF (рис. 50).

60

Таблица 3.1

Найти площадь многоугольника.

Рис. 3.9. К аналитическому определению площади многоугольника ABCDEF

Решение:

Р= 1/2(8953,4 + 8520,0+ 1568,1 + 3851,3+1675,6) = 10 608,6 м²;

Р= 1/2(3972,2 + 4309,9 + 2333,3 + 4536,1 + 6065,7) = 10 608,6 м².

Согласие результатов показывает, что вычисление безошибочно.