Теория полярного планиметра

Пусть требуется определить площадь контура (рис. 3.5). Рассмотрим два настолько близких между собой положения ОЬ1с1 и ОЬ2с2 рычагов планиметра, что часть сс2 границы контура можно считать дугой кругового сектора радиуса R. Полюс О планиметра лежит внутри обводимой фигуры. Если обводной шпиль переместится из точки Ср в точку с2, то точка шарнирного соединения рычагов, оставаясь на окружности, показанной пунктиром, перейдет из положения Ь, в положение Ь2. На рис. 3.5 имеем элементарную пло-54 щадь фигуры ОЬ^с’хс2Ъ2О, обозначим ее через Рг

Тогда площадь всего контура

P=P,+PI,+P„I+...+Pw. (3.6)

Рассмотрим подробнее площадь Рг Она состоит из площадей трех элементарных фигур: двух секторов и одного параллелограмма

Pj = APt + ДР2 + АР3 (пл. ОЬДО+пл. Ь2с;с2Ь2+пл. bjCjCjbJ,

ИЛИ 1 4

7’=-^р, + -й2а,+ЙЛ1. (3.7)

где Rj, — длина полюсного рычага;

R — длина обводного рычага;

р! — угол поворота полюсного рычага Pj

— угол поворота обводного рычага R;

Л] — высота параллелограмма.

Необходимо найти неизвестную величину h}. При перемещении рычагов планиметра из первого положения ОЬ1с1 во второе положение Ос2Ь2 счетное колесико к сначала вращалось в одну сторону из положения к{ до положения к{, т. е. переместилось на величину hv затем, при повороте обводного рычага на угол а колесико вращалось в обратную сторону на дугу к{к2 = га1, где r=k1bl Суммарное перемещение счетного колесика равно hx — гаг Это перемещение в делениях планиметра выразится величиной (n2n^t, где п2 и — отсчеты по счетному механизму во втором и первом положении; t — линейная величина наименьшего деления планиметра.

Таким образом, имеем равенство

или h^^-njt + ra,. (3.8)

С учетом выражения (3.8) по формулам (3.6) и (3.7) вычисляем элементарные Рр Рц1..., Pwn общую Рплощади контура:

Р, - - Я2В. +-7?2а1+гЯа1+ЯГ(п2-п1); 1 2 1 i 2 i i 'Z i / •

Рп - -R2^7+-R2a7+rRa7+Rt(n7-n2); и 2 i1 z 2 j z / *

Pin =^2Рз *4 + ^«з +Rt(n43);

PV = 2 R] 2 R rR^w^~ R^(nw+ ~ nw)>

P = ~^P ^PlV "*"2^ + Pt(nw+l —Л1)'

Рассмотрим два возможных случая:

1) полюс внутри фигуры

W W

Z3-=Za-=27r:

1 1 (3.9)

P=n(R2 +R2 +2Rr)+Rt(nw+l -nJ;

2) полюс вне фигуры

W IV

1 1 (3.10)

P=R^'w+-n).

Обозначим

Rl+R2+2Rr=p2-, (3.11)

Tt(R2 + R2 +2Rr)=Tip2 = Q; (3.12)

Rt = C,

(3.13) где Q — постоянное слагаемое планиметра;

С — цена деления планиметра.

С учетом принятых обозначений формулы (3.9) и (3.10) примут вид:

+ (3.14)

Р=С(п^+|-П1). (3.15)

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >